Phương trình hoành độ giao điểm:
\(\dfrac{1}{2}x^2=\left(m+1\right)x-m\Leftrightarrow x^2-2\left(m+1\right)x+2m=0\) (1)
\(\Delta'=\left(m+1\right)^2-2m=m^2+1>0;\forall m\)
\(\Rightarrow\) (1) luôn có 2 nghiệm pb với mọi m hay (d) và (P) luôn cắt nhau tại 2 điểm với mọi m
b.
Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\\x_1x_2=2m\end{matrix}\right.\)
Để biểu thức đề bài xác định \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2\ge0\\x_1x_2\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m\ge0\)
Khi đó ta có:
\(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}=2\Leftrightarrow x_1+x_2+2\sqrt{x_1x_2}=4\)
\(\Leftrightarrow2\left(m+1\right)+2\sqrt{2m}=4\)
\(\Leftrightarrow2m+2\sqrt{2m}-2=0\)
Đặt \(\sqrt{2m}=t\ge0\)
\(\Rightarrow t^2+2t-2=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=-1+\sqrt{3}\\t=-1-\sqrt{3}< 0\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\sqrt{2m}=-1+\sqrt{3}\Rightarrow m=2-\sqrt{3}\)
\(pt\) \(hoành\) \(độ\) \(giao\) \(điểm:\dfrac{1}{2}x^2=\left(m+1\right)x-m\Leftrightarrow x^2-2\left(m+1\right)x+2m=0\)
\(\Delta'=\left(m+1\right)^2-2m=m^2+2m+1-2m=m^2+1>0\left(\forall m\right)\Rightarrowđpcm\)
\(b;\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x1+x2=2\left(m+1\right)\\x1.x2=2m\end{matrix}\right.\)
\(điều\) \(kiện\) \(tồn\) \(tạicăn\Leftrightarrow0\le x1< x2\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x1.x2\ge0\\x1+x2>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ge0\\m>-1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow m\ge0\)
\(\Rightarrow\sqrt{x1}+\sqrt{x2}=2\Leftrightarrow x1+x2-2\sqrt{x1x2}=4\)
\(\Leftrightarrow2\left(m+1\right)+2\sqrt{2m}=4\)
\(đặt:\sqrt{2m}=t\ge0\Rightarrow t^2+2t-2=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=-1-\sqrt{3}\left(ktm\right)\\t=-1+\sqrt{3}\left(tm\right)\Leftrightarrow m=2-\sqrt{3}\left(tm\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow m=2-\sqrt{3}\left(tm\right)\)
