Question

Giaỉ : \(\sqrt{x+x^2}+\sqrt{x-x^2}=x+1\)

Answer 1

ĐKXĐ: \(0\le x\le1\)

Ta có:

\(\sqrt{x+x^2}=1.\sqrt{x+x^2}\le\dfrac{1}{2}\left(1+x+x^2\right)\)

\(\sqrt{x-x^2}=1.\sqrt{x-x^2}\le\dfrac{1}{2}\left(1+x-x^2\right)\)

\(\Rightarrow\sqrt{x+x^2}+\sqrt{x-x^2}\le\dfrac{1}{2}\left(1+x+x^2+1+x-x^2\right)=x+1\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x+x^2}=1\\\sqrt{x-x^2}=1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+x-1=0\\x^2-x+1=0\end{matrix}\right.\) (không tồn tại x thỏa mãn)

Vậy pt đã cho vô nghiệm