Lời giải:
Lấy PT(1) trừ PT(2) ta có:
\(x^3-y^3=(2x+y)-(2y+x)=x-y\)
\(\Leftrightarrow (x-y)(x^2+xy+y^2)-(x-y)=0\)
\(\Leftrightarrow (x-y)(x^2+xy+y^2-1)=0\)
Khi đó ta xét 2TH sau:
TH1: \(x-y=0\Leftrightarrow x=y\)
Thay vào PT ban đầu:
\(x^3=2x+y=2x+x=3x\)
\(\Leftrightarrow x(x^2-3)=0\Leftrightarrow x=0; x=\pm \sqrt{3}\)
Tương ứng ta có \(y=0; y=\pm \sqrt{3}\)
TH2: \(x^2+xy+y^2-1=0\Leftrightarrow x^2+xy+y^2=1\) \((*)\)
Lấy PT(1) cộng PT(2) ta có:
\(x^3+y^3=3(x+y)\Leftrightarrow (x+y)(x^2-xy+y^2-3)=0\)
+) Nếu \(x+y=0\). Kết hợp với $(*)$ :
\(1=x^2+xy+y^2=x(x+y)+y^2=y^2\Rightarrow y=\pm 1\)
Thay vào PT(2) suy ra \(x=y^3-2y=\mp 1\)
+) Nếu \(x^2-xy+y^2-3=0\)
\(\Leftrightarrow x^2-xy+y^2=3\)
Kết hợp với $(*)$ suy ra \(3(x^2+xy+y^2)=x^2-xy+y^2\)
\(\Leftrightarrow 2(x^2+2xy+y^2)=0\Leftrightarrow 2(x+y)^2=0\)
\(\Leftrightarrow x+y=0\). ( lại quay trở về trường hợp phía trên)
Vậy \((x,y)=(0,0); (\sqrt{3}, \sqrt{3}); (-\sqrt{3}; -\sqrt{3}); (-1,1); (1,-1)\)
