Lời giải:
Ta có: \(\left\{\begin{matrix} x+\frac{1}{y}=3\\ y+\frac{1}{z}=3\\ z+\frac{1}{x}=3\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x+\frac{1}{y}=y+\frac{1}{z}\\ y+\frac{1}{z}=z+\frac{1}{x}\\ z+\frac{1}{x}=x+\frac{1}{y}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x-y=\frac{y-z}{yz}\\ y-z=\frac{z-x}{xz}\\ z-x=\frac{x-y}{xy}\end{matrix}\right.(*)\) \(\Rightarrow (x-y)(y-z)(z-x)=\frac{(x-y)(y-z)(z-x)}{x^2y^2z^2}\)
\(\Leftrightarrow (x-y)(y-z)(z-x)\left(1-\frac{1}{x^2y^2z^2}\right)=0\)
Bây giờ ta xét các TH sau:
TH1: \(x-y=0\Rightarrow(*)\) kéo theo \(y-z=0\Rightarrow (*)\) kéo theo \(z-x=0\)
Do đó \(x=y=z\)
Thay vào pt ban đầu: \(x+\frac{1}{x}=3\Leftrightarrow x^2-3x+1=0\)
\(\Leftrightarrow x=\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}\)
Ta có bộ nghiệm \((x,y,z)=\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}, \frac{3+\sqrt{5}}{2}, \frac{3+\sqrt{5}}{2}\right);\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}, \frac{3-\sqrt{5}}{2}, \frac{3-\sqrt{5}}{2}\right) \)
TH2: \(\left[\begin{matrix} y-z=0\\ z-x=0\end{matrix}\right.\) (hoàn toàn tương tự TH1)
TH3: \(1-\frac{1}{x^2y^2z^2}=0\Leftrightarrow xyz=\pm 1\)
\(\bullet\)Nếu \(xyz=1\):
\(\left\{\begin{matrix} x+\frac{1}{y}=3\\ y+\frac{1}{z}=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+\frac{1}{y}=3\\ y+xy=3\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x+\frac{1}{y}=y+xy\Leftrightarrow x(y-1)+\frac{y^2-1}{y}=0\)
\(\Leftrightarrow (y-1)(x+\frac{y+1}{y})=0\)
+) \(y=1\Rightarrow x=2; z=\frac{1}{2}\), thử vào pt số 3 thấy không thỏa mãn (loại)
\(+) x+\frac{y+1}{y}=0\Leftrightarrow x+1+\frac{1}{y}=0\Leftrightarrow 3+1=0\) (vô lý- loại )
\(\bullet xyz=-1\)
\(\left\{\begin{matrix} x+\frac{1}{y}=3\\ y-xy=3\\ \end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x+\frac{1}{y}=y-xy\Leftrightarrow (y+1)(x+\frac{1-y}{y})=0\)
+) Nếu \(y+1=0\Leftrightarrow y=-1\Rightarrow x=4; z=\frac{1}{4}\)
Thử lại vào pt thứ 3 thấy không đúng (loại )
+ Nếu \(x+\frac{1-y}{y}=0\Leftrightarrow x+\frac{1}{y}-1=0\Leftrightarrow 3-1=0\) (vô lý- loại )
Vậy \((x,y,z)=\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}, \frac{3+\sqrt{5}}{2}, \frac{3+\sqrt{5}}{2}\right);\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}, \frac{3-\sqrt{5}}{2}, \frac{3-\sqrt{5}}{2}\right) \)
\(\left\{{}\begin{matrix}x+\dfrac{1}{y}=3\left(1\right)\\y+\dfrac{1}{z}=3\left(2\right)\\z+\dfrac{1}{x}=3\left(3\right)\end{matrix}\right.\) đk : x,y,z khác 0
từ (1) \(x=3-\dfrac{1}{y};x\ne0\Rightarrow y\ne\dfrac{1}{3}\) (4)
từ (3) và (4) => \(z=3-\dfrac{1}{x}=3-\dfrac{1}{3-\dfrac{1}{y}}=3-\dfrac{y}{3y-1}=\dfrac{8y-3}{3y-1};z\ne0\Rightarrow y\ne\dfrac{3}{8}\) (5)
từ (5) và (2) => \(y+\dfrac{3y-1}{8y-3}=3\Leftrightarrow8y^2-3y+3y-1=3\left(8y-3\right)\)
\(\Leftrightarrow y^2-3y+1=0\) \(\Delta_y=9-4=5\)
=>\(\left[{}\begin{matrix}y_1=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}\\y_2=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\end{matrix}\right.\) thỏa mãn đk y nhận
thế vào (4)=> \(\left[{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}\\x_2=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\end{matrix}\right.\) thế vào (3) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}z_1=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}\\z_2=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\end{matrix}\right.\)
Đơn giản vậy thôi cần gì biết đổi hầm hố phân ra nhiều các trường hợp rắc rối
hpt\(\left\{{}\begin{matrix}x+\dfrac{1}{y}=3\left(a\right)\\y+\dfrac{1}{z}=3\left(b\right)\\z+\dfrac{1}{x}=3\left(c\right)\end{matrix}\right.\)ĐKXĐ:x,y,z khác 0.
(a) \(\Leftrightarrow\dfrac{1}{y}=3-x\)
\(\Rightarrow\) \(\left(3-x\right)y=1\)
Do \(x\ne3\) (vì \(x=3\) không thỏa mãn (a)) nên \(y=\dfrac{1}{3-x}\).
(c) \(\Leftrightarrow\)\(z=3-\dfrac{1}{x}=\dfrac{3x-1}{x}\)
Thay \(y=\dfrac{1}{3-x}\);z=\(\dfrac{3x-1}{x}\) vào (b);ta được:
\(\dfrac{1}{3-x}\)+\(\dfrac{x}{3x-1}\)=3
Tìm x từ pt trên(không khó), rồi tìm ra y và z thế là giải đc pt trên.
P/S:Giá như tớ có thể kiên nhẫn gõ phím thêm nếu thay số 3 bằng số 2
