\(\begin{cases}2+9.3^{x^2-2y}=\left(2+9^{x^2-2y}\right).5^{2y-x^2+2}\left(1\right)\\4^x+4=4x+4\sqrt{2y-2x+4}\left(2\right)\end{cases}\)
Điều kiện \(y-x+2\ge0\),đặt \(t=x^2-2y\)
(1) \(\Leftrightarrow2+3^{t+2}=\left(2+9^t\right).5^{2-t}\Leftrightarrow\frac{2+3^{t+2}}{5^{t+2}}=\frac{2+3^{2t}}{5^{2t}}\Leftrightarrow f\left(t+2\right)=f\left(2t\right)\) (3)
Xét\(f\left(x\right)=\frac{2+3^X}{5^x}=2.\left(\frac{1}{5}\right)^x+\left(\frac{3}{5}\right)^x\) là hàm số nghịch biến trên R nên từ (3) suy ra t=2
\(\Leftrightarrow2y=x^2-2\)
Thế vào phương trình (2) : \(4^x+4=4x+4\sqrt{x^2-2x+2}\)
\(\Leftrightarrow4^{x-1}=x-1+\sqrt{\left(x-1\right)^2+1}\Leftrightarrow4^s=s+\sqrt{s^2+1}\left(4\right)\)
Do \(\left(s+\sqrt{s^2+1}\right)\left(\sqrt{s^2+1}-s\right)=1\) nên \(4^{-s}=\sqrt{s^2+1}-s\left(5\right)\)
(4) trừ (5) ta có \(4^s-4^{-s}-2s=0\) (*)
\(f\left(x\right)=4^x-4^{-x}-2x\rightarrow f'\left(x\right)=4\ln\left(4^x+4^{-x}\right)-2\ge2\ln4-2>0\)
s=0 là nghiệm duy nhất của phương trình (*) từ đó hệ có nghiệm \(\left(x;y\right)=\left(1;-\frac{1}{2}\right)\)
