Question

GIẢI GIÙM MÌNH BÀI NÀY NỮA NHÁ!!!!!!!!

1)Cho tam giác ABC vuông tại A có đường phân giác BD cắt đường cao AH tại I

a)Chứng minh AD=AI .

b)Chứng minh AD.BD=BI.DC .

c)từ D kẻ DK⊥BC tại K . Chứng minh tứ giác ADKI là hình thoi .

2)Cho tam giác ABC có ba góc nhọn . Gọi H là trực tâm của tam giác ABC . K là chân đường cao vẽ từ A của tam giác ABC . Chứng minh rằng :

KH.KA≤ \(\frac{BC^2}{4}\)

Answer 1

$a)$ Ta có:

\(\widehat{IBH}+\widehat{BIH}=90^0\left(AH\perp BC\right)\\ \widehat{ABD}+\widehat{ADB}=90^0\left(\Delta ABCvuôngcântạiA\right)\)

Mà: $\widehat{IBH}=\widehat{ABD}$ (do $BD$ là phân giác $\widehat{ABC}$) $\Rightarrow \widehat{BIH}=\widehat{ADI}$

Mà $\widehat{BIH}=\widehat{AID}$ (đối đỉnh)

$\Rightarrow \widehat{AID}=\widehat{ADI}$

$\Delta ADI$ cân tại $A$ hay $AD=AI$

$b)$ Xét \(\Delta IAB\) và \(\Delta DCB\) có:

\(\widehat{ABI}=\widehat{CBD};\widehat{IAB}=\widehat{DCB}\) (cùng phụ với \(\widehat{ABC}\))

\(\Rightarrow\Delta IAB\sim\Delta DCB\) \(\Rightarrow \dfrac{AB}{BC}=\dfrac{BI}{BD}(1)\)

Mặt khác, $\Delta ABC$ có $BD$ là đường phân giác nên $\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{AD}{DC}(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $\dfrac{BI}{BD}=\dfrac{AD}{DC} \Rightarrow AD.BD=BI.DC$

$c)$ Vì $BD$ là phân giác của $\widhat{ABC}$ nên $DA=DK$

Mà $AD=AI$ (câu a) nên $IA=DK$

Tứ giác $ADKI$ có $IA=DK$ và $IA//DK$ (cùng vuông góc với $BC$)

Suy ra $ADKI$ là hình bình hành

Lại có: $AD=AI$ (câu a)

$\Rightarrow ADKI$ là hình thoi

Answer 2

Câu 2:

Xét $\Delta AKB$ và $\Delta CKH$ có:

$\widehat{AKB}=\widehat{CKH}=90^0$

$\widehat{BAK}=\widehat{HCK}$ (hai góc nhọn cạnh tương ứng vuông góc)

\(\Rightarrow \Delta AKB ~ \Delta CKH \Rightarrow \dfrac{KA}{KB}=\dfrac{KC}{KH} \Rightarrow KA.KH=KB.KC \leqslant {\left( {\dfrac{{KB + KC}}{2}} \right)^2} = \dfrac{{B{C^2}}}{4} \) (Chỗ này dung Cô si)

$\Rightarrow KH.KA \leqslant \dfrac{BC^2}{4}$

Answer 3

1/a/\(\Delta ABD\sim\Delta HBI\left(g-g\right)\left(1\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{ADB}=\widehat{BIH}\)

Mà \(\widehat{BIH}=\widehat{AID}\left(dd\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{ADB}=\widehat{AID}\Rightarrow\Delta AID\) cân tại A suy ra AI=AD

b/