Câu hỏi của Hoàng Hồng Nhung

Question

giải các pt

1, $\sqrt{2x^2+8x+6}+\sqrt{x^2-1}=2x+2$

2, $\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}-\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}=2$

3, $\sqrt{x^2+x+4}+\sqrt{x^2+x+1}=\sqrt{2x^2+2x+9}$

4, $2x^2+\sqrt{x^2-4x+12}=4x+8$

5...

Nguyễn Việt Lâm · Accepted Answer

Câu 1: $\Leftrightarrow\sqrt{2\left(x+1\right)\left(x+3\right)}+\sqrt{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=2\left(x+1\right)$ - Với $x< -1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}VT\ge0\VP< 0\end{matrix}\right.$ pt vô nghiệm - Nhận thấy $x=-1$ là 1 nghiệm - Nếu $x>-1$ kết hợp ĐKXĐ các căn thức ta được $x\ge1$, pt tương đương: $\sqrt{2\left(x+3\right)}+\sqrt{x-1}=2\sqrt{x+1}$ $\Leftrightarrow2x+6+x-1+2\sqrt{2\left(x+3\right)\left(x-1\right)}=4x+4$ $\Leftrightarrow2\sqrt{2x^2+4x-6}=x-1$ $\Leftrightarrow4\left(2x^2+4x-6\right)=\left(x-1\right)^2$ $\Leftrightarrow7x^2+18x-25=0$ $\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\x=-\frac{25}{7}< 0\left(l\right)\end{matrix}\right.$ Vậy pt có nghiệm $x=\pm1$ Câu 2: ĐKXĐ: $x\ge1$ $\sqrt{x-1+2\sqrt{x-1}+1}-\sqrt{x-1-2\sqrt{x-1}+1}=2$ $\Leftrightarrow\sqrt{\left(\sqrt{x-1}+1\right)^2}-\sqrt{\left(\sqrt{x-1}-1\right)^2}=2$ $\Leftrightarrow\sqrt{x-1}+1-\left|\sqrt{x-1}-1\right|=2$ - Nếu $\sqrt{x-1}-1\ge0\Leftrightarrow x\ge2$ pt trở thành: $\sqrt{x-1}+1-\sqrt{x-1}+1=2\Leftrightarrow2=2$ (luôn đúng) - Nếu $1\le x< 2$ pt trở thành: $\sqrt{x-1}+1-1+\sqrt{x-1}=2\Leftrightarrow x=2\left(l\right)$ Vậy nghiệm của pt là $x\ge2$Câu trả lời: Câu 1: $\Leftrightarrow\sqrt{2\left(x+1\right)\left(x+3\right)}+\sqrt{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=2\left(x+1\right)$ - Với $x< -1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}VT\ge0\VP< 0\end{matrix}\right.$ pt vô nghiệm - Nhận thấy $x=-1$ là 1 nghiệm - Nếu $x>-1$ kết hợp ĐKXĐ các căn thức ta được $x\ge1$, pt tương đương: $\sqrt{2\left(x+3\right)}+\sqrt{x-1}=2\sqrt{x+1}$ $\Leftrightarrow2x+6+x-1+2\sqrt{2\left(x+3\right)\left(x-1\right)}=4x+4$ $\Leftrightarrow2\sqrt{2x^2+4x-6}=x-1$ $\Leftrightarrow4\left(2x^2+4x-6\right)=\left(x-1\right)^2$ $\Leftrightarrow7x^2+18x-25=0$ $\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\x=-\frac{25}{7}< 0\left(l\right)\end{matrix}\right.$ Vậy pt có nghiệm $x=\pm1$ Câu 2: ĐKXĐ: $x\ge1$ $\sqrt{x-1+2\sqrt{x-1}+1}-\sqrt{x-1-2\sqrt{x-1}+1}=2$ $\Leftrightarrow\sqrt{\left(\sqrt{x-1}+1\right)^2}-\sqrt{\left(\sqrt{x-1}-1\right)^2}=2$ $\Leftrightarrow\sqrt{x-1}+1-\left|\sqrt{x-1}-1\right|=2$ - Nếu $\sqrt{x-1}-1\ge0\Leftrightarrow x\ge2$ pt trở thành: $\sqrt{x-1}+1-\sqrt{x-1}+1=2\Leftrightarrow2=2$ (luôn đúng) - Nếu $1\le x< 2$ pt trở thành: $\sqrt{x-1}+1-1+\sqrt{x-1}=2\Leftrightarrow x=2\left(l\right)$ Vậy nghiệm của pt là $x\ge2$

Nguyễn Việt Lâm · Answer

Câu 3:

Bình phương 2 vế ta được:

$2x^2+2x+5+2\sqrt{\left(x^2+x+4\right)\left(x^2+x+1\right)}=2x^2+2x+9$

$\Leftrightarrow\sqrt{\left(x^2+x+4\right)\left(x^2+x+1\right)}=2$

$\Leftrightarrow\left(x^2+x+4\right)\left(x^2+x+1\right)=4$

Đặt $x^2+x+1=a>0$ pt trở thành:

$a\left(a+3\right)=4\Leftrightarrow a^2+3a-4=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=1\a=-4\left(l\right)\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow x^2+x+1=1\Leftrightarrow x^2+x=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\x=-1\end{matrix}\right.$

Câu 5:

ĐKXĐ: $x\ge1$

$\sqrt{x-1-4\sqrt{x-1}+4}+\sqrt{x-1-6\sqrt{x-1}+9}=1$

$\Leftrightarrow\sqrt{\left(\sqrt{x-1}-2\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{x-1}-3\right)^2}=1$

$\Leftrightarrow\left|\sqrt{x-1}-2\right|+\left|\sqrt{x-1}-3\right|=1$

Mà $VT=\left|\sqrt{x-1}-2\right|+\left|3-\sqrt{x-1}\right|\ge\left|\sqrt{x-1}-2+3-\sqrt{x-1}\right|=1$

$\Rightarrow VT\ge VP\Rightarrow$ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

$\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x-1}-2\ge0\\sqrt{x-1}-3\le0\end{matrix}\right.$ $\Rightarrow5\le x\le10$

Vậy nghiệm của pt là $5\le x\le10$Câu trả lời: Câu 3: