Câu hỏi của Nguyễn Trần Khánh Linh

Question

Giải các phương trình sau

a. $3^x-4=5^{\frac{x}{2}}$

b. $5^{2x}=3^{2x}+2.5^x+2.3^x$

c.$(2-\sqrt{3})^x+(2+\sqrt{3})^x=4^x$

d. $9^x+2(x-2).3^x+2x-5=0$

mong mọi người giúp mình với!!!!

Akai Haruma · Accepted Answer

a) Đặt $\frac{x}{2}=t\Rightarrow 3^{2t}-4=5^t$ $\Leftrightarrow 9^t-5^t=4$ TH1: $t>1\Rightarrow 9^t-5^t< 4^t$ $\Leftrightarrow 9^t< 4^t+5^t$ $\Leftrightarrow 1< \left(\frac{4}{9}\right)^t+\left(\frac{5}{9}\right)^t$ $(*)$ Ta thấy vì $\frac{4}{9};\frac{5}{9}<1 $, do đó với $t>1\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \left(\frac{4}{9}\right)^t< \frac{4}{9}\ \left(\frac{5}{9}\right)^t< \frac{5}{9}\end{matrix}\right.$ $\Rightarrow \left(\frac{4}{9}\right)^t+\left(\frac{5}{9}\right)^t< \frac{4}{9}+\frac{5}{9}=1$ (mâu thuẫn với (*)) TH2: $t<1 $ tương tự TH1 ta cũng suy ra mâu thuẫn do đó $t=1\Rightarrow x=2$Câu trả lời: a) Đặt $\frac{x}{2}=t\Rightarrow 3^{2t}-4=5^t$ $\Leftrightarrow 9^t-5^t=4$ TH1: $t>1\Rightarrow 9^t-5^t< 4^t$ $\Leftrightarrow 9^t< 4^t+5^t$ $\Leftrightarrow 1< \left(\frac{4}{9}\right)^t+\left(\frac{5}{9}\right)^t$ $(*)$ Ta thấy vì $\frac{4}{9};\frac{5}{9}<1 $, do đó với $t>1\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \left(\frac{4}{9}\right)^t< \frac{4}{9}\ \left(\frac{5}{9}\right)^t< \frac{5}{9}\end{matrix}\right.$ $\Rightarrow \left(\frac{4}{9}\right)^t+\left(\frac{5}{9}\right)^t< \frac{4}{9}+\frac{5}{9}=1$ (mâu thuẫn với (*)) TH2: $t<1 $ tương tự TH1 ta cũng suy ra mâu thuẫn do đó $t=1\Rightarrow x=2$

Akai Haruma · Answer

b) Ta có: $5^{2x}=3^{2x}+2.5^x+2.3^x$ $\Leftrightarrow (5^{2x}-2.5^{x}+1)=3^{2x}+2.3^x+1$ $\Leftrightarrow (5^x-1)^2=(3^x+1)^2$ $\Leftrightarrow (5^x-3^x-2)(5^x+3^x)=0$ Dễ thấy $5^x+3^x>0\forall x\in\mathbb{R}\Rightarrow 5^x-3^x-2=0$ $\Leftrightarrow 5^x-3^x=2$ $\Leftrightarrow 5^x=3^x+2$ Đến đây ta đưa về dạng giống hệt phần a, ta thu được nghiệm $x=1$ c) $(2-\sqrt{3})^x+(2+\sqrt{3})^x=4^x$ $\Leftrightarrow \left(\frac{2-\sqrt{3}}{4}\right)^x+\left(\frac{2+\sqrt{3}}{4}\right)^x=1$ TH1: $x>1$ Vì $\frac{2+\sqrt{3}}{4};\frac{2-\sqrt{3}}{4}<1;x> 1 \Rightarrow \left ( \frac{2-\sqrt{3}}{4} \right )^x< \frac{2-\sqrt{3}}{4};\left ( \frac{2+\sqrt{3}}{4} \right )^x< \frac{2+\sqrt{3}}{4}$ $\Rightarrow \left ( \frac{2-\sqrt{3}}{4} \right )^x+\left ( \frac{2+\sqrt{3}}{4} \right )^x<\frac{2-\sqrt{3}}{4}+\frac{2+\sqrt{3}}{4}=1$ (vô lý) TH2: $x<1 $ $\frac{2+\sqrt{3}}{4};\frac{2-\sqrt{3}}{4}<1; x< 1 \Rightarrow \left ( \frac{2-\sqrt{3}}{4} \right )^x> \frac{2-\sqrt{3}}{4};\left ( \frac{2+\sqrt{3}}{4} \right )^x> \frac{2+\sqrt{3}}{4}$ $\Rightarrow \left ( \frac{2-\sqrt{3}}{4} \right )^x+\left ( \frac{2+\sqrt{3}}{4} \right )^x>\frac{2-\sqrt{3}}{4}+\frac{2+\sqrt{3}}{4}=1$ (vô lý) Do đó $x=1$Câu trả lời: b) Ta có: $5^{2x}=3^{2x}+2.5^x+2.3^x$ $\Leftrightarrow (5^{2x}-2.5^{x}+1)=3^{2x}+2.3^x+1$ $\Leftrightarrow (5^x-1)^2=(3^x+1)^2$ $\Leftrightarrow (5^x-3^x-2)(5^x+3^x)=0$ Dễ thấy $5^x+3^x>0\forall x\in\mathbb{R}\Rightarrow 5^x-3^x-2=0$ $\Leftrightarrow 5^x-3^x=2$ $\Leftrightarrow 5^x=3^x+2$ Đến đây ta đưa về dạng giống hệt phần a, ta thu được nghiệm $x=1$ c) $(2-\sqrt{3})^x+(2+\sqrt{3})^x=4^x$ $\Leftrightarrow \left(\frac{2-\sqrt{3}}{4}\right)^x+\left(\frac{2+\sqrt{3}}{4}\right)^x=1$ TH1: $x>1$ Vì $\frac{2+\sqrt{3}}{4};\frac{2-\sqrt{3}}{4}<1;x> 1 \Rightarrow \left ( \frac{2-\sqrt{3}}{4} \right )^x< \frac{2-\sqrt{3}}{4};\left ( \frac{2+\sqrt{3}}{4} \right )^x< \frac{2+\sqrt{3}}{4}$ $\Rightarrow \left ( \frac{2-\sqrt{3}}{4} \right )^x+\left ( \frac{2+\sqrt{3}}{4} \right )^x<\frac{2-\sqrt{3}}{4}+\frac{2+\sqrt{3}}{4}=1$ (vô lý) TH2: $x<1 $ $\frac{2+\sqrt{3}}{4};\frac{2-\sqrt{3}}{4}<1; x< 1 \Rightarrow \left ( \frac{2-\sqrt{3}}{4} \right )^x> \frac{2-\sqrt{3}}{4};\left ( \frac{2+\sqrt{3}}{4} \right )^x> \frac{2+\sqrt{3}}{4}$ $\Rightarrow \left ( \frac{2-\sqrt{3}}{4} \right )^x+\left ( \frac{2+\sqrt{3}}{4} \right )^x>\frac{2-\sqrt{3}}{4}+\frac{2+\sqrt{3}}{4}=1$ (vô lý) Do đó $x=1$

Akai Haruma · Answer

d) $9^x+2(x-2)3^x+2x-5=0$ $\Leftrightarrow (3^{2x}-1)+2(x-2)3^x+2(x-2)=0$ $\Leftrightarrow (3^x-1)(3^x+1)+2(x-2)(3^x+1)=0$ $\Leftrightarrow (3^x+1)(3^x+2x-5)=0$ $\Leftrightarrow 3^x+2x-5=0$ (do $3^x+1>0\forall x\in\mathbb{R}$ ) $\Leftrightarrow 3^x=5-2x$ Ta thấy $(3^x)'=\ln 3.3^x>0$ nên vế trái đồng biến $(5-2x)'=-2< 0$ nên vế phải nghịch biến Do đó pt chỉ có nghiệm duy nhất. Dễ thấy $x=1$ là 1 nghiệm thỏa mãn nên pt có duy nhất nghiệm x=1Câu trả lời: d) $9^x+2(x-2)3^x+2x-5=0$ $\Leftrightarrow (3^{2x}-1)+2(x-2)3^x+2(x-2)=0$ $\Leftrightarrow (3^x-1)(3^x+1)+2(x-2)(3^x+1)=0$ $\Leftrightarrow (3^x+1)(3^x+2x-5)=0$ $\Leftrightarrow 3^x+2x-5=0$ (do $3^x+1>0\forall x\in\mathbb{R}$ ) $\Leftrightarrow 3^x=5-2x$ Ta thấy $(3^x)'=\ln 3.3^x>0$ nên vế trái đồng biến $(5-2x)'=-2< 0$ nên vế phải nghịch biến Do đó pt chỉ có nghiệm duy nhất. Dễ thấy $x=1$ là 1 nghiệm thỏa mãn nên pt có duy nhất nghiệm x=1

Bài 5: Phương trình mũ và phương trình lôgarit

Khoá học trên OLM (olm.vn)

Đề thi đánh giá năng lực