Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Ngô Chí Thành

Giải các phương trình sau :

a) \(3sin^2x-4sinxcosx+5cos^2x=2\)

b) \(25sin^2x+15sin2x+9cos^2=25\)

c) sinx + cosx =1

d) 3cos2x - 4sin2x =1

f) \(4sin^2x-6cos^2x=0\)

g) \(5sin2x-6cos^2x=13\)

h) \(sinx=\sqrt{3}cosx\)

i) \(sin^4x+cos^4\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{4}\)

j)\(tanx+2cotx-3=0\)

k) \(tan^25x=\frac{1}{3}\)

m) \(sin^4x-cos^4x=cosx-2\)

Akai Haruma
24 tháng 7 2020 lúc 10:10

a)

PT $\Leftrightarrow \sin ^2x-4\sin x\cos x+3\cos ^2x+2(\sin ^2x+\cos ^2x)=2$

$\Leftrightarrow \sin ^2x-4\sin x\cos x+3\cos ^2x=0$

$\Leftrightarrow (\sin x-3\cos x)(\sin x-\cos x)=0$

Nếu $\sin x-3\cos x=0$. Dễ thấy $\sin x, \cos x\neq 0$ nên $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}=3$

$\Rightarrow x=k\pi +\tan ^{-1}(3)$ với $k$ nguyên

Nếu $\sin x=\cos x$ thì tương tự ta có $\tan x=1\Rightarrow x=\pi (k+\frac{1}{4})$ với $k$ nguyên

Akai Haruma
24 tháng 7 2020 lúc 10:20

b)
PT $\Leftrightarrow 25(\sin ^2x+\cos ^2x)+30\sin x\cos x-16\cos ^2x=25$

$\Leftrightarrow 30\sin x\cos x-16\cos ^2x=0$

$\Leftrightarrow \cos x(15\sin x-8\cos x)=0$

Nếu $\cos x=0\Rightarrow x=\pi (k+\frac{1}{2})$ với $k$ nguyên

Nếu $15\sin x-8\cos x=0$

Dễ thấy $\cos x\neq 0$ nên suy ra $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{8}{15}$

$\Rightarrow x=k\pi +\tan ^{-1}(\frac{8}{15})$ với $k$ nguyên

Akai Haruma
24 tháng 7 2020 lúc 10:24

c) \(\left\{\begin{matrix} \sin x+\cos x=1\\ \sin ^2x+\cos ^2x=1\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} (\sin x+\cos x)^2=1\\ \sin ^2x+\cos ^2x=1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow 2\sin x\cos x=0\Leftrightarrow \sin 2x=0\Rightarrow x=\frac{k}{2}\pi\) với $k$ nguyên.

Akai Haruma
24 tháng 7 2020 lúc 10:41

d) \(\left\{\begin{matrix} 3\cos 2x-4\sin 2x=1\\ \sin ^22x+\cos ^22x=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \sin 2x=\frac{3\cos 2x-1}{4}\\ \sin ^22x+\cos ^22x=1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow (\frac{3\cos 2x-1}{4})^2+\cos ^22x=1\)

\(\Leftrightarrow 25\cos ^22x-6\cos 2x-15=0\Rightarrow \cos 2x=\frac{3\pm 8\sqrt{6}}{25}\)

Mà $\cos 2x=\frac{1+4\sin 2x}{3}\in [\frac{1}{3}; \frac{5}{3}]$ nên $\cos 2x=\frac{3+8\sqrt{6}}{25}$

$\Rightarrow x=\pm \frac{1}{2}\cos ^{-1}\frac{3+8\sqrt{6}}{25}+k\pi$ với $k$ nguyên.

Akai Haruma
24 tháng 7 2020 lúc 10:47

f)

$4\sin ^2x-6\cos ^2x=0$

$\Leftrightarrow (2\sin x-\sqrt{6}\cos x)(2\sin x+\sqrt{6}\cos x)=0$

Nếu $2\sin x-\sqrt{6}\cos x=0$

Dễ thấy $\cos x\neq 0$ nên $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{\sqrt{6}}{2}$

$\Rightarrow x=k\pi +\tan ^{-1}\frac{\sqrt{6}}{2}$ với $k$ nguyên

Tương tự $2\sin x+\sqrt{6}\cos x=0\Rightarrow x=k\pi +\tan ^{-1}\frac{-\sqrt{6}}{2}$ với $k$ nguyên

Akai Haruma
24 tháng 7 2020 lúc 10:50

g)

$5\sin 2x-6\cos ^2x=13$

Ta thấy: $5\sin 2x\leq 5$ với mọi $x\in\mathbb{R}$

$\cos ^2x\geq 0$ với mọi $x\in\mathbb{R}$

Do đó: $5\sin 2x-6\cos ^2x\leq 5 < 13$ với mọi $x\in\mathbb{R}$

Do đó pt vô nghiệm.

Akai Haruma
24 tháng 7 2020 lúc 10:51

h)

$\sin x=\sqrt{3}\cos x$

Nếu $\cos x=0\Rightarrow \sin x=0\Rightarrow \sin ^2x+\cos ^2x=0$ (vô lý)

Do đó $\cos x\neq 0$

$\Rightarrow \tan x=\frac{\sin x}{\cos x}=\sqrt{3}$

$\Rightarrow x=k\pi +\tan ^{-1}\sqrt{3}$ với $k$ nguyên.

Akai Haruma
24 tháng 7 2020 lúc 11:04

i)

$\sin ^4x+\cos ^4(x+\frac{\pi}{4})=\frac{1}{4}$

$\Leftrightarrow \sin ^4x+(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x)^4=\frac{1}{4}$

$\Leftrightarrow 4\sin ^4x+(\cos x-\sin x)^4=1$

$\Leftrightarrow 4\sin ^4x+(1-2\sin x\cos x)^2=1$

$\Leftrightarrow 4\sin ^2x(1-\cos ^2x)+4\sin ^2x\cos ^2x-4\sin x\cos x=0$

$\Leftrightarrow 4\sin ^2x-4\sin x\cos x=0$

$\Leftrightarrow \sin x(\sin x-\cos x)=0$

Nếu $\sin x=0\Rightarrow x=k\pi$ với $k$ nguyên

Nếu $\sin x=\cos x\Rightarrow \tan x=1\Rightarrow x=\pi (k+\frac{1}{4})$ với $k$ nguyên.

Akai Haruma
24 tháng 7 2020 lúc 11:08

j) ĐK:$x\neq \frac{k\pi}{2}$ với $k$ nguyên.

$\tan x+2\cot x-3=0$

$\Leftrightarrow \tan x+\frac{2}{\tan x}-3=0$

$\Leftrightarrow \tan ^2x-3\tan x+2=0$

$\Leftrightarrow (\tan x-1)(\tan x-2)=0$

Nếu $\tan x=1\Rightarrow x=\pi (k+\frac{1}{4})$ với $k$ nguyên.

Nếu $\tan x=2\Rightarrow x=k\pi +\tan ^{-1}2$ với $k$ nguyên.

Akai Haruma
24 tháng 7 2020 lúc 11:28

k) ĐK:.......

$\tan ^25x=\frac{1}{3}\Rightarrow \tan 5x=\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

$\Rightarrow 5x=k\pi +\tan ^{-1}\frac{\pm 1}{\sqrt{3}}$

$\Rightarrow x=frac{k}{5}\pi +\tan ^{-1}\frac{\pm 1}{\sqrt{3}}$ với $k$ nguyên.

Số đẹp hơn thì có thể giải như sau:

$PT \Leftrightarrow \frac{\sin ^25x}{\cos ^25x}=\frac{1}{3}$

$\Rightarrow 3\sin ^25x=\cos ^25x$

$\Rightarrow 4\\sin ^25x=1\Rightarrow \sin 5x=\pm \frac{1}{2}$

$\Rightarrow x=\frac{k\pi}{5}\pm \frac{\pi}{30}$ với $k$ nguyên.

Akai Haruma
24 tháng 7 2020 lúc 11:31

m)

$\sin 4x-\cos ^4x=\cos x-2$

$\Leftrightarrow (\sin ^2x+\cos ^2x)(\sin ^2x-\cos ^2x)=\cos x-2$

$\Leftrightarrow \sin ^2x-\cos ^2x=\cos x-2$

$\Leftrightarrow 1-2\cos ^2x=\cos x-2$

$\Leftrightarrow 2\cos ^2x+\cos x-3=0$

$\Leftrightarrow (2\cos x+3)(\cos x-1)=0$

Nếu $2\cos x+3=0\Rightarrow \cos x=\frac{-3}{2}< -1$ (loại)

Nếu $\cos x-1=0\Rightarrow \cos x=1\Rightarrow x=2k\pi$ với $k$ nguyên


Các câu hỏi tương tự
M Thiện Nguyễn
Xem chi tiết
Julian Edward
Xem chi tiết
lu nguyễn
Xem chi tiết
lu nguyễn
Xem chi tiết
xữ nữ của tôi
Xem chi tiết
lu nguyễn
Xem chi tiết
lu nguyễn
Xem chi tiết
Nguyễn Kiều Anh
Xem chi tiết
Julian Edward
Xem chi tiết