\(\sqrt{\frac{a}{b+c}}=\frac{a}{a\sqrt{b+c}}\ge\frac{2a}{a+b+c}\)
Tương tự: \(\sqrt{\frac{b}{c+a}}\ge\frac{2b}{a+b+c}\) ; \(\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge\frac{2c}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)
Dấu "=" ko xảy ra nên \(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}>2\)
Giả sử a,b,c,d và A,B,C,D là những số dương và:
\(\frac{a}{A}=\frac{b}{B}=\frac{c}{C}=\frac{d}{D}\)
CMR :
\(\sqrt{\text{Aa}}+\sqrt{Bb}+\sqrt{Cc}+\sqrt{\text{dD}}=\sqrt{\left(a+b+c+d\right)\left(A+B+C+D\right)}\)
Cho a , b , c là các số thự dương thỏa mãn : \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=3\)
CMR \(a^2\sqrt{a}+b^2\sqrt{b}+c^2\sqrt{c}+\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\ge6\)
cho a,b,c là các số dương thỏa mãn \(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}=\sqrt{2019}\)
CMr: \(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\sqrt{\frac{2019}{8}}\)
cho a,b,c là các số thực dương. CMR
\(\frac{b+c}{\sqrt[]{a}}+\frac{c+a}{\sqrt{b}}+\frac{a+c}{\sqrt{ }c}\ge2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\)
Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a+b+c=0. CMR: \(\sqrt{\frac{a}{1-a}}+\sqrt{\frac{b}{1-b}}+\sqrt{\frac{c}{1-c}}>2\)
Cho a b c là các số thực dương thỏa mãn \(\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=5\\\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=3\end{matrix}\right.\)
CMR :\(\frac{\sqrt{a}}{a+2}+\frac{\sqrt{b}}{b+2}+\frac{\sqrt{c}}{c+2}=\frac{4}{\sqrt{\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)}}\)
Cho a, b, c dương thỏa \(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}=2\). Cmr: \(\frac{a}{1+\frac{b}{a}}+\frac{b}{1+\frac{c}{b}}+\frac{c}{1+\frac{a}{c}}\ge1\)
Cho các số dương a,b,c. Chứng minh
\(\sqrt{\frac{2}{a}}+\sqrt{\frac{2}{b}}+\sqrt{\frac{2}{c}}\le\sqrt{\frac{a+b}{ab}}+\sqrt{\frac{b+c}{bc}}+\sqrt{\frac{c+a}{ac}}\)
Cho các số dương a, b, c thỏa mãn ab+bc+ca=1.
CMR: \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\ge3+\sqrt{\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{a^2}}+\sqrt{\frac{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}{b^2}}+\sqrt{\frac{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}{c^2}}\)
