\(VT=\frac{a^2}{ab+ac}+\frac{b^2}{bc+ab}+\frac{c^2}{ac+bc}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
Chương 1: MỆNH ĐỀ, TẬP HỢP
Các câu hỏi tương tự
Cho a,b,c>0 chứng minh \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\) (1). Áp dụng chứng minh các BĐT sau:
a) \(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\ge\frac{3}{2}\left(a+b+c\right)\)
b) Cho x,y,z>0 tm x+y+z=1. Tìm GTLN của bt \(P=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\)
\(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge a+b+c\) với a,b,c>0
Cho a,b,c>0. CM các bđt sau:
a)\(\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)
b)\(3\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
c)\(9\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\left(a+b+c\right)^3\)
Cho a,b0 . Chứng minh frac{1}{a}+frac{1}{b}gefrac{4}{a+b} (1). Áp dụng cm các bđt sau:
a)frac{1}{a}+frac{1}{b}+frac{1}{c}ge2left(frac{1}{a+b}+frac{1}{b+c}+frac{1}{c+a}right) với a,b,c0
b)frac{1}{a+b}+frac{1}{b+c}+frac{1}{c+a}ge2left(frac{1}{2a+b+c}+frac{1}{a+2b+c}+frac{1}{a+b+2c}right) với a,b,c0
c)Cho a,b,c0 tm frac{1}{a}+frac{1}{b}+frac{1}{c}4 . CM frac{1}{2a+b+c}+frac{1}{a+2b+c}+frac{1}{a+b+2c}le1
d) Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác, p là nửa chu vi .CMR:
frac{1}{p-a}+frac{1}{p...
Đọc tiếp
Cho a,b>0 . Chứng minh \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) (1). Áp dụng cm các bđt sau:
a)\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge2\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\) với a,b,c>0
b)\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\ge2\left(\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{a+b+2c}\right)\) với a,b,c>0
c)Cho a,b,c>0 tm \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=4\) . CM \(\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{a+b+2c}\le1\)
d) Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác, p là nửa chu vi .CMR:
\(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Cho a,b,c∈R.CM bđt a^2+b^2+c^2ge ab+bc+ca (1). Áp dụng cm các bđt sau:
a)left(a+b+cright)^2le3left(a^2+b^2+c^2right)
b)frac{a^2+b^2+c^2}{3}geleft(frac{a+b+c}{3}right)^2
c)left(a+b+cright)^2ge3left(ab+bc+caright)
d)a^4+b^4+c^4ge abcleft(a+b+cright)
e)frac{a+b+c}{3}gesqrt{frac{ab+bc+ca}{3}}vớia,b,c0
f)a^4+b^4+c^4ge abc nếu a+b+c1
Đọc tiếp
Cho a,b,c∈R.CM bđt \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\) (1). Áp dụng cm các bđt sau:
a)\(\left(a+b+c\right)^2\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
b)\(\frac{a^2+b^2+c^2}{3}\ge\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^2\)
c)\(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
d)\(a^4+b^4+c^4\ge abc\left(a+b+c\right)\)
e)\(\frac{a+b+c}{3}\ge\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{3}}vớia,b,c>0\)
f)\(a^4+b^4+c^4\ge abc\) nếu a+b+c=1
Cho các số thực dương a, b, c. CMR: \(\frac{a^4}{b^2\left(c+a\right)}+\frac{b^4}{c^2\left(a+b\right)}+\frac{c^4}{a^2\left(b+c\right)}\) ≥ \(\frac{a+b+c}{2}\)
Cho a,b,c,d0. CMR nếu frac{a}{b} 1 thì frac{a}{b} frac{a+c}{b+c} (1). Áp dụng cm các bđt sau
a)frac{a}{a+b}+frac{b}{b+c}+frac{c}{c+a} 2
b)1 frac{a}{a+b+c}+frac{b}{b+c+d}+frac{c}{c+d+a}+frac{d}{d+a+b} 2
c)2 frac{a+b}{a+b+c}+frac{b+c}{b+c+d}+frac{c+d}{c+d+a}+frac{d+a}{d+a+b} 3
Đọc tiếp
Cho a,b,c,d>0. CMR nếu \(\frac{a}{b}< 1\) thì \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+c}\) (1). Áp dụng cm các bđt sau
a)\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 2\)
b)\(1< \frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}< 2\)
c)\(2< \frac{a+b}{a+b+c}+\frac{b+c}{b+c+d}+\frac{c+d}{c+d+a}+\frac{d+a}{d+a+b}< 3\)
\(\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\le\frac{a+b+c}{2}\) với a,b,c<0
cho a,b,c dương và a+b+c=3
CMR: \(\sqrt{3a+\frac{1}{b}}+\sqrt{3b+\frac{1}{c}}+\sqrt{3c+\frac{1}{a}}\) ≥6