Chương 1: MỆNH ĐỀ, TẬP HỢP

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Tú Nguyễn

Cho a,b,c∈R.CM bđt \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\) (1). Áp dụng cm các bđt sau:

a)\(\left(a+b+c\right)^2\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

b)\(\frac{a^2+b^2+c^2}{3}\ge\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^2\)

c)\(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)

d)\(a^4+b^4+c^4\ge abc\left(a+b+c\right)\)

e)\(\frac{a+b+c}{3}\ge\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{3}}vớia,b,c>0\)

f)\(a^4+b^4+c^4\ge abc\) nếu a+b+c=1

Nguyễn Việt Lâm
9 tháng 2 2020 lúc 6:26

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2bc+2ca\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ac+a^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

a/ Từ BĐT ban đầu ta có:

\(2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2bc+2ca\)

\(\Leftrightarrow3a^2+3b^2+3c^2\ge a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\)

\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\) (đpcm)

Khách vãng lai đã xóa
Nguyễn Việt Lâm
9 tháng 2 2020 lúc 6:31

b/ Chia 2 vế của BĐT ở câu a cho 9 ta được:

\(\frac{a^2+b^2+c^2}{3}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{9}=\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^2\) (đpcm)

c/ Cộng 2 vế của BĐT ban đầu với \(2ab+2bc+2ca\) ta được:

\(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\ge3ab+3bc+3ca\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)

d/ Áp dụng BĐT ban đầu cho các số \(a^2;b^2;c^2\) ta được:

\(\left(a^2\right)^2+\left(b^2\right)^2+\left(c^2\right)^2\ge a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\)

Mặt khác ta cũng có:

\(\left(ab\right)^2+\left(bc\right)^2+\left(ca\right)^2\ge ab.bc+bc.ca+ab+ca=abc\left(a+b+c\right)\)

\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4\ge abc\left(a+b+c\right)\)

Khách vãng lai đã xóa
Nguyễn Việt Lâm
9 tháng 2 2020 lúc 6:33

e/ Chia 2 vế của BĐT ở câu c cho 9 ta được:

\(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{9}\ge\frac{ab+bc+ca}{3}\)

Khai căn 2 vế: \(\Rightarrow\frac{a+b+c}{3}\ge\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{3}}\)

f/ Áp dụng BĐT ở câu d:

\(a^4+b^4+c^4\ge abc\left(a+b+c\right)=abc\) (do \(a+b+c=1\))

Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
Tú Nguyễn
Xem chi tiết
Tú Nguyễn
Xem chi tiết
Tú Nguyễn
Xem chi tiết
Tú Nguyễn
Xem chi tiết
Anh Tú Dương
Xem chi tiết
Anh Tú Dương
Xem chi tiết
Võ Thị Kim Dung
Xem chi tiết
Tú Nguyễn
Xem chi tiết
Tú Nguyễn
Xem chi tiết