Question

Đường tròn (C): x²+y²-2x-6y=0. Tìm tọa độ M thuộc đường thẳng x=3 để từ M kẻ được tới (C) 2 tiếp tuyến vuông góc.

 

Answer 1

Đường tròn (C) tâm \(I\left(1;3\right)\) bán kính \(R=\sqrt{10}\)

Gọi 2 tiếp điểm là A và B \(\Rightarrow\) tứ giác IAMB là hình chữ nhật (có 3 góc vuông)

Mà \(IA=IB=R\Rightarrow IAMB\) là hình vuông (hcn có 2 cạnh kề bằng nhau)

\(\Rightarrow IM=IA\sqrt{2}=R\sqrt{2}=2\sqrt{5}\)

Gọi \(M\left(3;m\right)\Rightarrow\overrightarrow{IM}=\left(2;m-3\right)\)

\(\Rightarrow IM=\sqrt{4+\left(m-3\right)^2}=2\sqrt{5}\)

\(\Leftrightarrow\left(m-3\right)^2=16\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-1\\m=7\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}M\left(3;-1\right)\\M\left(3;7\right)\end{matrix}\right.\)