ĐỐ VUI : bạn nào làm đúng mình xin tặng 1 GP để khuyến kích . tuy phần thưởng không lớn nhưng ý nghĩa nhất ở đây là bạn làm được bài toán . nếu khó quá thì cmt mình sẽ gợi ý nhá :)
chứng minh rằng phương trình \(a\left(x-b\right)\left(x-c\right)+b\left(x-a\right)\left(x-c\right)+c\left(x-a\right)\left(x-b\right)=0\)luôn có nghiệm với mọi \(a,b,c\)
(không tính đenta)
Nhìn quen quen, có phải nó đây ko bạn?
Câu hỏi của Nguyễn Lê Nhật Linh - Toán lớp 11 | Học trực tuyến
Tìm trong CHTT chứ mình cũng ko nhớ là đã làm rồi :))
(b)=b(b−c)(b−a)f(b)=b(b−c)(b−a)
f(c)=c(c−a)(c−b)f(c)=c(c−a)(c−b)
Lại có f(a).f(b).f(c)=−abc(a−b)2(b−c)2(c−a)2f(a).f(b).f(c)=−abc(a−b)2(b−c)2(c−a)2
Vì vậy tồn tại 1 trong 3 số đó âm hay phương trình luôn có nghiệm.
Do hệ số A của pt dương
Nên:
a.f(α)<0a.f(α)<0 thì pt luôn có nghiệm thỏa x1<α<x2x1<α<x2
Một cách dựa vào hàm số:
Đặt VT=f(x)VT=f(x)
- Nếu 2 trong 3 số a, b, c bằng nhau hoặc một trong 3 số bằng 0 thì pt hiển nhiên có nghiệm
- Nếu không có bất cứ cặp nào bằng nhau và đều khác 0, do tính đối xứng của f(x)f(x) , không làm mất tính tổng quát, giả sử a>b>ca>b>c ta có:
f(a)=a(a−b)(a−c)f(a)=a(a−b)(a−c)
Do (a−b)(a−c)>0⇒f(a)(a−b)(a−c)>0⇒f(a) cùng dấu với aa ⇒a.f(a)>0⇒a.f(a)>0 (1)
f(b)=b(b−c)(b−a)f(b)=b(b−c)(b−a)
Do (b−c)(b−a)<0⇒b.f(b)<0(b−c)(b−a)<0⇒b.f(b)<0 (2)
f(c)=c(c−a)(c−b)f(c)=c(c−a)(c−b)
Do (c−a)(c−b)<0⇒c.f(c)>0(c−a)(c−b)<0⇒c.f(c)>0 (3)
- Nếu a, c cùng dấu ⇒a;b;c⇒a;b;c cùng dấu ⇒ab>0⇒ab>0
Nhân vế với vế của (1) và (2): a.b.f(a).f(b)<0a.b.f(a).f(b)<0 ⇒f(a).f(b)<0⇒f(a).f(b)<0
⇒⇒ Pt có ít nhất 1 nghiệm thuộc (a;b)(a;b)
- Nếu a,a, c trái dấu ⇒ac<0⇒ac<0 nhân vế với vế của (1) và (3):
ac.f(a).f(c)>0⇒f(a).f(c)<0ac.f(a).f(c)>0⇒f(a).f(c)<0
⇒⇒ Pt có ít nhất 1 nghiệm thuộc (a;c)(a;c)
Vậy pt đã cho luôn luôn có nghiệm
Thu gọn phương trình trên ta đc
x2(a+b+c)−2x(ab+bc+ca)+3abc=0x2(a+b+c)−2x(ab+bc+ca)+3abc=0
Δ′=(ab+bc+ca)2−3abc(a+b+c)≥0Δ′=(ab+bc+ca)2−3abc(a+b+c)≥0
Nên phương trình luôn có nghiệm.
theo như yêu cầu của bạn vinh mình sẽ gợi ý nhé .
để chứng minh được bài toán mình chỉ cần chứng minh luôn tồn tại cặp hàm trái dấu là được .
câu này mk thấy trên mạng cũng có nhưng chưa thấy ai giải đúng cách cả .
giải :
ta có : \(f\left(a\right)=a\left(a-b\right)\left(a-c\right)\) ; \(f\left(b\right)=b\left(b-a\right)\left(b-c\right)\) ; \(f\left(c\right)=c\left(c-a\right)\left(c-b\right)\) ; \(f\left(0\right)=3abc\)
ta gọi \(p=f\left(a\right).f\left(b\right)\) và \(q=f\left(c\right).f\left(0\right)\)
khi đó : \(pq=f\left(a\right).f\left(b\right).f\left(c\right).f\left(0\right)=-3a^2b^2c^2\left(a-b\right)^2\left(b-c\right)^2\left(c-a\right)^2\le0\)
\(\Rightarrow\) trong 2 số \(q\) và \(p\) phải có một số âm \(\Leftrightarrow\) tồn tại ít nhất một cặp hàm trái dấu
\(\Rightarrow\) phương trình luôn luôn có nghiệm với mọi số a,b,c (đpcm)
ĐỐ VUI : bạn nào làm đúng mình xin tặng 1 GP để khuyến kích . tuy phần thưởng không lớn nhưng ý nghĩa nhất ở đây là bạn làm được bài toán . nếu khó quá thì cmt mình sẽ gợi ý nhá :)
chứng minh rằng phương trình a(x−b)(x−c)+b(x−a)(x−c)+c(x−a)(x−b)=0a(x−b)(x−c)+b(x−a)(x−c)+c(x−a)(x−b)=0luôn có nghiệm với mọi a,b,ca,b,c
(không tính đenta)
hmm....
