Câu 1:
a/ \(A=a^3-a=a\left(a^2-1\right)=\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\)
\(A\) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên A luôn chia hết cho 6
b/ \(x^3-2x^2+3x-4x^2+8x-12=0\)
\(\Leftrightarrow x\left(x^2-2x+3\right)-4\left(x^2-2x+3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-4\right)\left(x^2-2x+3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-4=0\\x^2-2x+3=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=4\\\left(x-1\right)^2+2=0\left(vn\right)\end{matrix}\right.\)
Bài 2:
a/ Biến đổi tương đương:
\(a^2+b^2+c^2\ge ab+ac+bc\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2ac+2bc\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+a^2-2ac+c^2+b^2-2bc+c^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy BĐT ban đầu được chứng minh, dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
b/
\(A=\frac{30x^2-4x+2019}{15x^2-2x+5}=2+\frac{2009}{15x^2-2x+5}\)
Ta có \(15x^2-2x+5=15\left(x^2-2.\frac{1}{15}x+\frac{1}{225}\right)+\frac{74}{15}=15\left(x-\frac{1}{15}\right)^2+\frac{74}{15}\ge\frac{74}{15}\)
\(\Rightarrow A\le2+\frac{2009}{\frac{74}{15}}=\frac{30283}{74}\)
\(\Rightarrow A_{max}=\frac{30283}{74}\) khi \(x=\frac{1}{15}\)
