Đề thi hsg của trường mình mấy năm trước
Giả sử có tồn tại các cặp x ; y thỏa mãn .Rõ ràng \(y\ge0\) ; đồng thời khi thay x thành -x ; đẳng thức vẫn đúng , thế nên không mất tổng quát
giả sử \(x\ge0\)
Ta nhận thấy x = y ( ko thỏa mãn) .Trong trường hợp x khác y
ta suy ra : \(\left(x-y\right)^2\ge1\) , vì thế:
\(1+20y=\left(x^2-y^2\right)^2=\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)^2\ge\left(x+y\right)^2\ge y^2\)
Dựa vào đánh giá trên ta có:
\(y^2\le20y+1\Rightarrow\left(y-10\right)^2\le101\Rightarrow10-\sqrt{101}\le y\le10+\sqrt{101}\)
Do y là số tự nhiên , ta chọn y = 0 ; 1;2 .......20 . Trong các số này ; 20y+1 chỉ nhận giá trị là số chính phương với y =0 ; y=4 ; y=6 và y = 18
(1) vs y = 0 ; ta có \(x^4=1\left(x\ge0\right);\) ta chọn x=1
(2) vs y =4 ; ta có \(\left(x^2-16\right)^2=81\Leftrightarrow x^2-16=\pm19\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2=7\\x^2=25\end{matrix}\right.\Rightarrow x=\pm5\)
do x lớn hoặc = 0 nên ta chọn x = 5
(3) vs y=6 ; ta có \(\left(x^2-36\right)^2=121\Leftrightarrow x^2-36=\pm11\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2=25\\x^2=47\end{matrix}\right.\)
suy ra : x = +-5
do x lớn hoặc = 0 nên ta chọn x = 5.
(4) vs y =18 , ta có : \(\left(x^2-324\right)^2=381\Leftrightarrow x^2-324=\pm19\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2=305\\x^2=343\end{matrix}\right.\) ( mâu thuẫn)
Kq có 6 cặp x ; y thỏa mãn đề bao gồm :
(1 ; 0 ) ; (-1 ; 0) ; (5 ; 4 ) ; (-5 ; 4) ; ( 5;6 ) ; (-5 ; 6)
