Dạ mọi người giúp em này với ạ! Dạ em cảm ơn ạ. Giải hệ phương trình
a) \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{1}{x}+\frac{1}{y+z}=\frac{1}{2}\\\frac{1}{y}+\frac{1}{x+z}=\frac{1}{3}\\\frac{1}{z}+\frac{1}{x+y}=\frac{1}{4}\end{matrix}\right.\)
b) \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{2x^2}{1+x^2}=y\\\frac{2y^2}{1+y^2}=z\\\frac{2z^2}{1+z^2}=x\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{x+y+z}{x\left(y+z\right)}=\frac{1}{2}\\\frac{x+y+z}{y\left(z+x\right)}=\frac{1}{3}\\\frac{x+y+z}{z\left(x+y\right)}=\frac{1}{4}\end{matrix}\right.\) lần lượt chia vế cho vế ta được hệ:
\(\left\{{}\begin{matrix}\frac{y\left(z+x\right)}{x\left(y+z\right)}=\frac{3}{2}\\\frac{z\left(x+y\right)}{x\left(y+z\right)}=2\\\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2yz=xy+3zx\\yz=2xy+xz\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2yz=xy+3zx\\3yz=6xy+3zx\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow yz=5xy\Rightarrow z=5x\)
Thế vào \(yz=2xy+zx\Rightarrow5xy=2xy+5x^2\)
\(\Leftrightarrow3xy=5x^2\Rightarrow y=\frac{5x}{3}\)
Thế vào pt đầu: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{\frac{5x}{3}+5x}=\frac{1}{2}\Rightarrow\frac{23}{20x}=\frac{1}{2}\Rightarrow x=\frac{23}{10}\)
\(\Rightarrow y=\frac{23}{6};z=\frac{23}{2}\)
b/ Do các vế trái đều ko âm nên x;y;z không âm
- Nhận thấy nếu 1 biến bằng 0 thì 2 biến còn lại cũng bằng 0 nên \(\left(x;y;z\right)=\left(0;0;0\right)\) là 1 nghiệm
- Với \(x;y;z>0\) ta có:
\(y=\frac{2x^2}{x^2+1}\le\frac{2x^2}{2\sqrt{x^2.1}}=x\Rightarrow y\le x\)
Tương tự: \(z=\frac{2y^2}{1+y^2}\le y\) ; \(x=\frac{2z^2}{1+z^2}\le z\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y\le x\\z\le y\\x\le z\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=y=z\)
Thay vào pt đầu:
\(\frac{2x^2}{1+x^2}=x\Leftrightarrow\frac{2x}{1+x^2}=1\Leftrightarrow2x=x^2+1\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2=0\Rightarrow x=y=z=1\)
Vậy: \(\left[{}\begin{matrix}x=y=z=0\\x=y=z=1\end{matrix}\right.\)
