[CUỘC THI TRÍ TUỆ VICE]
Trang fanpage của cuộc thi đã có hơn 1,5k like đó, bạn đã like để nhận tin mới nhất chưa?
Cuộc thi Trí tuệ VICE | Facebook
Trả lời ngay những câu hỏi dưới đây tích cực để có cơ hội nhận giải thưởng lên đến 1.000.000đ nhé!
Lưu ý từ giờ, những câu hỏi được vừa được duyệt là câu hỏi hay, vừa là những câu hỏi được mình xác nhận cũng sẽ được cộng điểm hỏi đáp trong sự kiện của mình nha ^^
---------------------------------------------
[Toán.C270-279 _ 4.3.2021]
Bài nào đó k ghi số nên không bt gọi ntn:
Chuẩn hóa x + y + z = 3. Ta cần cm \(x^2y+y^2z+z^2x+xyz\le4\).
Giả sử \(z=mid\left\{x,y,z\right\}\Rightarrow\left(x-z\right)\left(y-z\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow xy+z^2\le xz+yz\)
\(\Leftrightarrow x^2y+xz^2\le x^2z+xyz\).
Từ đó \(x^2y+y^2z+z^2x+xyz\le x^2z+xyz+y^2z+xyz=z\left(x+y\right)^2\le\dfrac{\dfrac{\left(2z+x+y+x+y\right)^3}{27}}{2}=4\).
Câu cuối:
Áp dụng BĐT BSC:
\(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b+c}}=\sqrt{\dfrac{a^2}{a^2+b+c}}=\sqrt{\dfrac{a^2\left(1+b+c\right)}{\left(a^2+b+c\right)\left(1+b+c\right)}}\le\sqrt{\dfrac{a^2\left(1+b+c\right)}{\left(a+b+c\right)^2}}\le\dfrac{a\sqrt{1+b+c}}{a+b+c}\)
Tương tự \(\dfrac{b}{\sqrt{b^2+c+a}}=\le\dfrac{b\sqrt{1+c+a}}{a+b+c}\); \(\dfrac{c}{\sqrt{c^2+a+b}}=\le\dfrac{c\sqrt{1+a+b}}{a+b+c}\)
Khi đó \(VT\le\Sigma\left(\dfrac{a}{a+b+c}.\sqrt{1+b+c}\right)\)
Giả sử \(a\ge b\ge c\)
Áp dụng BĐT Chebyshev với bộ \(\dfrac{a}{a+b+c};\dfrac{b}{a+b+c};\dfrac{c}{a+b+c}\) và \(\sqrt{1+b+c};\sqrt{1+c+a};\sqrt{1+a+b}\):
\(VT\le\dfrac{1}{3}\Sigma\dfrac{a}{a+b+c}.\Sigma\sqrt{1+a+b}=\dfrac{\Sigma\sqrt{1+a+b}}{3}\)
\(\le\dfrac{\sqrt{3\left(3+2a+2b+2c\right)}}{3}\)
\(\le\dfrac{\sqrt{9+6\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}}}{3}=\sqrt{3}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Bài 1 GPT: \(x^2+2018\sqrt{2x^2+1}=x+1+2018\sqrt{x^2+x+1}\)(1) ĐKXĐ: \(\forall x\in R\)
(1) \(\Leftrightarrow x^2-x-1+2018\sqrt{2x^2+1}-2018\sqrt{x^2+x+1}=0\)
\(\Rightarrow x^2-x-1+2018\cdot\dfrac{\left(\sqrt{2x^2+1}-\sqrt{x^2+x+2}\right)\left(\sqrt{2x^2+1}+\sqrt{x^2+x+2}\right)}{\sqrt{2x^2+1}+\sqrt{x^2+x+2}}=0\)
\(\Leftrightarrow x^2-x-1+2018\cdot\dfrac{\left(x^2-x-1\right)}{\sqrt{2x^2+1}+\sqrt{x^2+x+2}}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-x-1\right)\left(1+\dfrac{2018}{\sqrt{2x^2+1}+\sqrt{x^2+x+2}}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x^2-x-1=0\) vì \(1+\dfrac{2018}{\sqrt{2x^2+1}+\sqrt{x^2+x+2}}>1>0\forall x\)
\(\Leftrightarrow x^2-x+\dfrac{1}{4}-\dfrac{5}{4}=0\Leftrightarrow\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{5}{4}\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\\x=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\end{matrix}\right.\) Vậy...
\(\left\{{}\begin{matrix}x^3\left(3+2y\right)=8\\xy\left(y^2+3y+3\right)=4\end{matrix}\right.\)
Xét \(x=0\Rightarrow\) Hệ vô nghiệm
Xét \(x\ne0\)
Hệ đã cho tương đương:
\(\left\{{}\begin{matrix}3+2y=\dfrac{8}{x^3}\left(1\right)\\y^3+3y^2+3y+1=\dfrac{4}{x}+1\end{matrix}\right.\)
Đặt \(\dfrac{2}{x}=t\), hệ trở thành:
\(\left\{{}\begin{matrix}3+2y=t^3\\\left(y+1\right)^3=2t+1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}t^3=2y+3\\\left(y+1\right)^3=2t+1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(t-y-1\right)\left(t^2+y^2+2y+t+ty+1\right)=2\left(y-t+1\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(t-y-1\right)\left(t^2+y^2+2y+t+ty+3\right)=0\)
Dễ thấy \(t^2+y^2+2y+t+ty+3>0\) nên \(t=y+1\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2}{x}=y+1\)
Khi đó \(\left(1\right)\Leftrightarrow3+2y=\left(y+1\right)^3\)
\(\Leftrightarrow\left(y+2\right)\left(y^2+y-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=-2\\y=\dfrac{-1\pm\sqrt{5}}{2}\end{matrix}\right.\)
Với \(y=-2\Rightarrow\dfrac{2}{x}=-1\Rightarrow x=-2\)
Với \(y=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}\Rightarrow\dfrac{2}{x}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\Rightarrow x=\dfrac{4}{1+\sqrt{5}}\)
Với \(y=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}\Rightarrow\dfrac{2}{x}=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\Rightarrow x=\dfrac{4}{1-\sqrt{5}}\)
Thử lại rồi kết luận.
1 Ko giải phương trình \(x^2+x-3=0\) (1) .Hãy tính \(P=x_1^3-4x_2^2+1019\)
Ta có \(ac=1\cdot\left(-3\right)< 0\) \(\Rightarrow pt\) (1) có 2 nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\)
Theo định lí Vi-et có: \(\Rightarrow x_1+x_2=-1;x_1x_2=-3\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-1\\x_1x_2=-3\\x_1+1=-x_2;x_2+1=-x_1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow P=x_1^3+1-4x_2^2+4+1014=\left(x_1+1\right)\left(x_1^2-x_1+1\right)-4\left(x_2-1\right)\left(x_2+1\right)+1014=-x_2\left(x_1^2-x_1+1\right)-4\left(x_2-1\right)\left(-x_1\right)+1014\)
\(=-x_1\cdot x_2\cdot x_1+x_1x_2-x_2+4x_1x_2-4x_1+1014=3x_1-3-x_2-12-4x_1+1014=-\left(x_1+x_2\right)+999=1+999=1000\)
GPT \(\sqrt{9-\dfrac{9}{x}}=x-\sqrt{x-\dfrac{9}{x}}ĐKXĐ:x\ne0;x\ge1\)
\(\Rightarrow9-\dfrac{9}{x}=x^2+x-\dfrac{9}{x}-2x\sqrt{x-\dfrac{9}{x}}\Leftrightarrow x^2+x-9-2x\sqrt{x-\dfrac{9}{x}}=0\)
\(\Rightarrow x-\dfrac{9}{x}+1-2\sqrt{x-\dfrac{9}{x}}=0\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-\dfrac{9}{x}}-1\right)^2=0\Leftrightarrow\sqrt{x-\dfrac{9}{x}}=1\)
\(\Leftrightarrow x-\dfrac{9}{x}=1\Rightarrow x^2-9=x\Leftrightarrow x^2-x+\dfrac{1}{4}-\dfrac{37}{4}=0\Leftrightarrow\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{37}{4}\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{1+\sqrt{37}}{2}\left(TM\right)\\x=\dfrac{1-\sqrt{37}}{2}\left(L\right)\end{matrix}\right.\) Vậy...
Giải hệ pt:\(\left\{{}\begin{matrix}x^3\left(3+2y\right)=8\\xy\left(y^2+3y+3\right)=4\end{matrix}\right.\)
⇔\(\left\{{}\begin{matrix}3+2y=\dfrac{8}{x^3}\\xy^3+3xy^2+3xy=4\end{matrix}\right.\)
⇔\(\left\{{}\begin{matrix}2y=\dfrac{8}{x^3}-3\\xy^3+3xy^2+3xy=4\end{matrix}\right.\)
⇔\(\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{\left(\dfrac{8}{x^3}-3\right)}{2}\\x\left(\dfrac{\left(\dfrac{8}{x^3}-3\right)}{2}\right)^3+3x\left(\dfrac{\left(\dfrac{8}{x^3}-3\right)}{2}\right)^2+3x\left(\dfrac{\left(\dfrac{8}{x^3}-3\right)}{2}\right)=4\left(1\right)\end{matrix}\right.\)
Rút (1) ra có: \(x\left(\dfrac{\left(\dfrac{8}{x^3}-3\right)}{2}\right)^3+3x\left(\dfrac{\left(\dfrac{8}{x^3}-3\right)}{2}\right)^2+3x\left(\dfrac{\left(\dfrac{8}{x^3}-3\right)}{2}\right)=4\)
⇔\(\left(\dfrac{8}{x^3}-3\right)^3\cdot x+\left(\dfrac{8}{x^3}-3\right)^2\cdot6x+\left(\dfrac{8}{x^3}-3\right)12x=32\)
⇔\(\left(\dfrac{512}{x^9}-\dfrac{576}{x^6}+\dfrac{216}{x^3}-27\right)\cdot x+\left(\dfrac{64}{x^6}-\dfrac{48}{x^3}+9\right)\cdot6x+\left(\dfrac{8}{x^3}-3\right)12x=32\)
⇔\(\dfrac{512}{x^8}-\dfrac{576}{x^5}+\dfrac{216}{x^2}-27x+\dfrac{384}{x^5}-\dfrac{288}{x^2}+54x+\dfrac{96}{x^2}-36x=32\)
⇔\(\dfrac{512}{x^8}-\dfrac{192}{x^5}+\dfrac{24}{x^2}-9x=32\)(đến đây em ko biết làm j luôn rồi)
Vjp, giải thưởng từ bao giờ đã lên 1 củ thế :v Toi cũng muốn cơ :)))
