Question

Có số tự nhiên abc nào mà tổng abc + bca + cab là một số chính phương hay không ?

Answer 1

S = abc + bca + cab

=> S = ( 100a + 10b + c ) + ( 100b + 10c + a)+ ( 100c + 10a + b)

=> S = 100a + 10b + c + 100b + 10c + a + 100c + 10a +b

=> S = 111a + 111b + 111c

=> S = 111( a+b+c)

vì 0< a+b+c \(\le\) 27 nên a + b + c không chia hết cho 37

mặt khác ( 3 ; 37)=1 nên 3( a+b+c) không chia hết cho 37

=> S không phải là số chính phương

Answer 2

S=abc+bca+cab
=(1000a+10b+c) +(1000b+10c+a)+(1000c+10a+b)
=1011*(a+b+c) =3*337*(a+b+c)

Do 3 & 337 là số nguyên tố, để S là số chính phương thì tổng a+b+c phải bằng 3*337 hoặc là (3*337)^(2n+1) (*)

Tuy nhiên do a,b,c<=9 => a+b+c<=27 nên không thể nào thỏa mãn (*)

Vậy không tồn tại số chính phương S