Cách khác:v
\(a+b+c\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\)
\(\Rightarrow a+b+b+c+c+a\ge2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ac}\)
\(\Rightarrow a+b+b+c+c+a-2\sqrt{ab}-2\sqrt{bc}-2\sqrt{ac}\ge0\)
\(\Rightarrow\left(a+b-2\sqrt{ab}\right)+\left(b+c-2\sqrt{bc}\right)+\left(c+a-2\sqrt{ac}\right)\ge0\)
\(\Rightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2+\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2+\left(\sqrt{c}-\sqrt{a}\right)^2\ge0\) *đúng*
Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số không âm, ta có :
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\) (1)
Tương tự, ta có :
\(b+c\ge2\sqrt{bc}\) (2)
\(a+c\ge2\sqrt{ac}\) (3)
Cộng từng vế của (1) (2) (3) => ĐPCM.
\(\text{Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho các cặp số không âm a và b, b và c, c và a, ta có:}\)\(a+b\ge2\sqrt{ab}\\ b+c\ge2\sqrt{bc}\\ a+c\ge2\sqrt{ac}\)
\(\text{Suy ra:} (a+b)+(b+c)+(a+c) \ge 2(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac})\)
\(\text{Do đó:}a+b+c\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\)
