Áp dụng BĐT Côsi-Shaw ta có :
\(A=\dfrac{1}{\sqrt[3]{a+7b}}+\dfrac{1}{\sqrt[3]{b+7c}}+\dfrac{1}{\sqrt[3]{c+7a}}\ge\dfrac{9}{\sqrt[3]{a+7b}+\sqrt[3]{b+7c}+\sqrt[3]{c+7a}}\)
Đặt \(B=\sqrt[3]{a+7b}+\sqrt[3]{b+7c}+\sqrt[3]{c+7a}\)
Ta sẽ có : \(\dfrac{9}{B}\)
Mà : \(\dfrac{9}{B}\) đạt GTNN khi B lớn nhất .
Áp dụng BĐT Cô si , ta có :
\(\sqrt[3]{\left(a+7b\right).8.8}\le\dfrac{a+7b+8+8}{3}\) ( 1 )
Tương tự , ta có :
\(\sqrt[3]{\left(b+7c\right).8.8}\le\dfrac{b+7c+8+8}{3}\left(2\right)\)
\(\sqrt[3]{\left(c+7a\right).8.8}\le\dfrac{c+7a+8+8}{3}\) \(\left(3\right)\)
Cộng từng vế của \(\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right)\) ta có :
\(4.\left(\sqrt[3]{a+7b}+\sqrt[3]{b+7c}+\sqrt[3]{c+7a}\right)\le\dfrac{8}{3}\left(a+b+c\right)+16\)
\(\Leftrightarrow4B\le24\)
\(\Leftrightarrow B\le6\)
Vậy \(Max_B=6\) \(\Leftrightarrow Min_A=\dfrac{9}{6}=\dfrac{3}{2}\)
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=1.\)
Sai thôi nha 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
\(\Rightarrow A\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{\sqrt[3]{\left(a+7b\right)\left(b+7c\right)\left(c+7a\right)}}}\) (1)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
\(\Rightarrow\sqrt[3]{\left(a+7b\right)\left(b+7c\right)\left(c+7a\right)}\le\dfrac{8\left(a+b+c\right)}{3}=8\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{\sqrt[3]{\left(a+7b\right)\left(b+7c\right)\left(c+7a\right)}}\ge\dfrac{1}{8}\)
\(\Rightarrow3\sqrt[3]{\dfrac{1}{\sqrt[3]{\left(a+7b\right)\left(b+7c\right)\left(c+7a\right)}}}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{8}}=\dfrac{3}{2}\) (2)
Từ (1) và (2)
\(\Rightarrow A\ge\dfrac{3}{2}\)
\(\Rightarrow A_{min}=\dfrac{3}{2}\)
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt[3]{a+7b}=x\\\sqrt[3]{b+7c}=y\\\sqrt[3]{c+7a}=z\end{matrix}\right.\left(x;y;z>0\right).\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3=8\left(a+b+c\right)=24.}\)Sau đó Áp dụng cô si 2 ĐT là ok
