Giả sử căn 3 là số hữu tỉ
căn 3 có dạng m/n với m/n tối giản
nên =>3n^2=m^2(1)
==>m có dạng 3p
==>n^2=3p==>n có dạng 3q
Vậy căn 3 =3p/3q=p/q ==> không phải tối giản ( trái với giả thiết trên)
==>căn 3 là vô tỉ
Giả sử √3 là số hữu tỉ => tồn tại m, n là hai số nguyên tố cùng nhau
sao cho √3 = m/n
=> 3 = m²/n² => n² = m²/3 (là số nguyên)
=> m² chia hết cho 3 mà 3 là số nguyên tố
=> m chia hết cho 3 (*)
đặt m = 3p => m² = 9p², thay vào trên ta có:
n² = m²/3 = 9p²/3 = 3p²
=> p² = n²/3 là số nguyên => n² chia hết cho 3
và vì 3 nguyên tố => n chia hết cho 3 (**)
từ (*) và (**) thấy m và n đều chia hết cho 3 => mâu thuẩn với gt m, n nguyên tố cùng nhau
Vậy √3 là số vô tỉ
