Question

CMR nếu p lá một số nguyên tố lớn hơn 3 thi (p-1)(p+1) chia hết cho 24

Answer 1

Ta có:\(\left(p-1\right)\left(p+1\right)=p^2-1\)

Vì p là số nguyên tố và p>3 nên \(\left[\begin{matrix}p=3k+1\\p=3k+2\end{matrix}\right.\)

Nếu p=3k+1 \(\Rightarrow p^2\equiv1\left(mod3\right)\Rightarrow p^2-1⋮3\)

Nếu p=3k+2\(\Rightarrow p^2\equiv1\left(mod3\right)\Rightarrow p^2-1⋮3\)

Vậy \(p^2-1⋮3hay\left(p-1\right)\left(p+1\right)⋮3\left(1\right)\)

Lại có:p>3 =>p-1 và p+1 chẵn => p-1 và p+1 là 2 số chẵn liên tiếp. Mà 2 số chẵn liên tiếp thì luôn chia hết cho 8 nên\(\left(p-1\right)\left(p+1\right)⋮8\left(2\right)\)

Từ (1),(2)và (3,8)=1 nên (p-1)(p+1)\(⋮24\)