Question

CMR nếu \(\left|a\right|>2\) thì hệ pt \(\left\{{}\begin{matrix}x^5-2y=a\left(1\right)\\x^2+y^2=1\left(2\right)\end{matrix}\right.\) vô nghiệm

Answer 1

Lời giải:

Ta có:

\((2): x^2+y^2=1\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x^2=1-y^2\leq 1\\ y^2=1-x^2\leq 1\end{matrix}\right.\Rightarrow -1\leq x,y\leq 1\)

Do đó:

\(x^5-x^2=x^2(x^3-1)=x^2(x-1)(x^2+x+1)\leq 0\)

\(\Rightarrow x^5\leq x^2\)

Lại có: \((y+1)^2\geq 0, \forall y\in [-1;1]\Rightarrow 2y\geq -y^2-1\)

Từ \((*); (**)\Rightarrow x^5-2y\leq x^2-(-y^2-1)\)

\(\Leftrightarrow a\leq x^2+y^2+1=2(*)\)

Tương tự:

\(\left\{\begin{matrix} x^5\geq -x^2\\ 2y\leq y^2+1\end{matrix}\right.\Rightarrow x^5-2y\geq -x^2-(y^2+1)\)

\(\Leftrightarrow a\geq -(x^2+y^2)-1=-2(**)\)

Từ \((*); (**)\Rightarrow -2\leq a\leq 2\) là đk để hpt có nghiệm,hoàn toàn trái với \(|a|>2\)

Vậy hpt vô nghiệm khi \(|a|>2 \)