Question

CMR : Nếu 3 số dương a,b,c đều nhỏ hơn 2 thì có ít nhất 1 trong 3 đẳng thức sau là sai

\(a\left(2-b\right)>1\)

\(b\left(2-c\right)>1\)

\(c\left(2-a\right)>1\)

Answer 1

Lời giải:

Phản chứng. Giả sử cả 3 bất đẳng thức trên đều đúng.

Khi đó:

\(a(2-b)b(2-c)c(2-a)>1.1.1=1\)

\(\Leftrightarrow a(2-a)b(2-b)c(2-c)>1(*)\)

Áp dụng BĐT AM-GM cho 2 số dương $a,2-a$ ta có:

\(a(2-a)\leq \left(\frac{a+(2-a)}{2}\right)^2=1\)

Tương tự:

\(b(2-b)\leq \left(\frac{b+(2-b)}{2}\right)^2=1\)

\(c(2-c)\leq \left(\frac{c+(2-c)}{2}\right)^2=1\)

Nhân theo vế:
\(a(2-a)b(2-b)c(2-c)\leq 1\) (trái với $(*)$)

Như vậy suy ra điều giả sử là sai. Tức là ít nhất một trong 3 BĐT đã cho là sai.