Question

CMR : n^5​ -​ 5n^{3 ​}+ 4n chia hết cho 120 với mọi số nguyên n​​

HELP me !!!!!!!!!!! Mình đang cần gấp!!!!!!!

Answer 1

Ta có:

\(n^5-5n^3+4n=n\left(n^4-5n^2+4\right)\)

\(=n\left(n^4-n^2-4n^2+4\right)\)

\(=n\left[n^2\left(n^2-1\right)-4\left(n^2-1\right)\right]\)

\(=n\left(n^2-1\right)\left(n^2-4\right)\)

\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)\)

\(\Rightarrow\)\(\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

Vì \(n-2;n-1;;n;n+1;n+2\) là tích của 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 3;5;8

Mà ƯC\(_{\left(3;5;8\right)}\)=1

\(\Rightarrow\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\) chia hết cho:

3.5.8=120(đpcm)