Question

Cmr \(\forall a,b,c,d,e\) tùy ý thì 1 trong 2 bất đẳng thức sau là sai:

\(a^2+b^2+c^2< a\left(d+e\right)\)

\(d^2+e^2< a\left(b+c\right)\)

Answer 1

Giả sử cả 2 BĐT trên đều đúng

Cộng theo vế ta được

\(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2< a\left(b+c+d+e\right)\)

\(\Leftrightarrow4\left(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\right)< 4a\left(b+c+d+e\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2-4ab+4b^2+a^2-4ac+4c^2+a^2-4ad+4d^2+a^2-4ae+4e^2< 0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-2b\right)^2+\left(a-2c\right)^2+\left(a-2d\right)^2+\left(a-2e\right)^2< 0\) (vô lý)

Vậy điều giả sử sai

Nói cách khác, 1 trong 2 BĐT đã cho ở giả thiết là sai.