Question

C/m: (x+y)(\(\sqrt{x}\)+\(\sqrt{y}\))\(^2\) >/ 2\(\sqrt{xy}\).4\(\sqrt{x}\).\(\sqrt{y}\)

Answer 1

Đk: x,y >/ 0

Ta sẽ chứng minh \(\left(x+y\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2\ge2\sqrt{xy}\cdot4\sqrt{x}\cdot\sqrt{y}\) (*) luôn đúng với mọi x,

*Xét \(\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=0\end{matrix}\right.\), ta có:

\(\left(x+y\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2\ge2\sqrt{xy}\cdot4\sqrt{x}\cdot\sqrt{y}\Leftrightarrow0\ge0\) (luôn đúng)

Vậy (*) đúng.

*Xét \(\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y>0\end{matrix}\right.\), ta có:

\(\left(x+y\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2\ge2\sqrt{xy}\cdot4\sqrt{x}\cdot\sqrt{y}\Leftrightarrow y^2\ge0\) (luôn đúng

Vậy (*) đúng

*Xét \(\left\{{}\begin{matrix}x>0\\y=0\end{matrix}\right.\), ta có:

\(\left(x+y\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2\ge2\sqrt{xy}\cdot4\sqrt{x}\cdot\sqrt{y}\Leftrightarrow x^2\ge0\) (luôn đúng

Vậy (*) đúng

* Xét x,y > 0

Ta có: (+) \(x+y\ge2\sqrt{xy}\) (1)

(+) \(\sqrt{x}+\sqrt{y}\ge2\sqrt{\sqrt{xy}}\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2\ge4\sqrt{xy}\) (2)

Nhân (1) và (2) vế theo vế, ta được:

\(\left(x+y\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2\ge2\sqrt{xy}\cdot4\sqrt{x}\cdot\sqrt{y}\)

Vậy (*) luôn đúng với mọi x,y >/0 (đpcm)

Answer 2

Answer 3

Answer 4

Answer 5

Answer 6

Answer 7

\(\dfrac{7m+4}{3m+3}\ge0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}7m+4\ge0\\3m+3>0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}7m+4< 0\\3m+3< 0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}m\ge-\dfrac{4}{7}\\m>-1\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}m< -\dfrac{4}{7}\\m< -1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) (khi kết hợp mấy cái này, trường hợp bất đẳng thức CÙNG CHIỀU, thì LỚN HƠN THÌ LẤY LỚN HƠN, BÉ HƠN THÌ LẤY BÉ HƠN)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m\ge-\dfrac{4}{7}\\m< -1\end{matrix}\right.\) (xong! )

Kl: Vậy \(\left[{}\begin{matrix}m\ge-\dfrac{4}{7}\\m< -1\end{matrix}\right.\)