Question

CM

\(a^2+b^2+c^2\ge\sqrt{abc}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\)

Answer 1

Lời giải:

Sử dụng một hệ quả quen thuộc:

\(a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac\) \((1)\)

BĐT luôn đúng vì tương đương với:\(\frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{2}\geq 0\)

Ta sẽ cm \(ab+bc+ac\geq \sqrt{abc}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\) \((2)\)

\(\Leftrightarrow 2(ab+bc+ac)\geq 2\sqrt{abc}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\)

\(\Leftrightarrow (\sqrt{ab}-\sqrt{ac})^2+(\sqrt{ab}-\sqrt{bc})^2+(\sqrt{ac}-\sqrt{bc})^2\geq 0\)

(luôn đúng)

Do đó ta có \((2)\)

Từ \((1),(2)\Rightarrow a^2+b^2+c^2\geq \sqrt{abc}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\)

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c\)