Giả sử \(\sqrt{3}\) là một số hữu tỉ thì tồn tại hai số nguyên m và n sao cho:
\(\dfrac{m}{n}=\sqrt{3}\left(1\right)\)
với \(\dfrac{m}{n}\) là phân số tối giản hay m và n có ước chung lớn nhất bằng 1
Khi đó từ \(\left(1\right)\Leftrightarrow m=n\sqrt{3}\Leftrightarrow m^2=3n^2\left(2\right)\)
Từ đó suy ra \(m^2\) chia hết cho 3 nên m phải chia hết cho 3\(\left(3\right)\)
Do đó tồn tại số nguyên k sao cho \(m=3k\) Thay vào \(\left(2\right)\) ta có thể suy ra \(n^2=3k^2\) hay \(n=\sqrt{3}k\)
Do k là số nguyên nên suy ra n không nguyên.
Từ đây suy ra giả sử ban đầu là sai, tức là không có cặp số m,n nguyên nào để \(\dfrac{m}{n}=\sqrt{3}\) Vậy \(\sqrt{3}\) không là số hữu tỉ \(\left(\sqrt{3}\notin Q\right)\)
