Violympic toán 9
Các câu hỏi tương tự
Cho a,b,c>0 thỏa mãn: a.b.c=8
Chứng minh: \(\frac{a^2}{\sqrt{\left(1+a^3\right).\left(1+b^3\right)}}+\frac{b^2}{\sqrt{\left(1+b^3\right).\left(1+c^3\right)}}+\frac{c^2}{\sqrt{\left(1+c^3\right).\left(1+a^3\right)}}\ge\frac{4}{3}\)
cho a,b,c>0 và \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le16\left(a+b+c\right)\). Chứng minh rằng:
\(\frac{1}{\left(a+b+2\sqrt{a+c}\right)^3}+\frac{1}{\left(b+c+2\sqrt{b+a}\right)^3}+\frac{1}{\left(c+a+2\sqrt{b+c}\right)^3}\le\frac{8}{9}\)
Cho a, b, c > 0 thoả mãn: a + b + c = \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\) = 2. Chứng minh: \(\frac{\sqrt{a}}{a+1}+\frac{\sqrt{b}}{b+1}+\frac{\sqrt{c}}{c+1}=\frac{2}{\sqrt{\left(1+a\right)\left(1+b\left(1+c\right)\right)}}\)
Cho a, b, c > 0 thoả mãn a + b + c = \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\) = 2. Chứng minh: \(\frac{\sqrt{a}}{a+1}+\frac{\sqrt{b}}{b+1}+\frac{\sqrt{c}}{c+1}=\frac{2}{\sqrt{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\)
Bài 1: Cho các số thực dương a,b ; a≠b. Chứng minh:
frac{frac{left(a-bright)^3}{left(sqrt{a}-sqrt{b}right)^3}-bsqrt{b}+2asqrt{a}}{asqrt{a}-bsqrt{b}}+frac{3a+3sqrt{ab}}{b-a}0
Bài 2: Cho các biểu thức; Pfrac{5x-12sqrt{x}-32}{x-16} và Qleft(xright)x+sqrt{x}+3.
a) Tìm số nguyên x0 sao cho P(x0) và Q(x0) là các số nguyên, đồng thời P(x0) và ước của Q(x0)
b) Cho tfrac{x}{x^2-x+1}. Tính giá trị biểu thức Afrac{x^2}{x^4+x^2+1} theo t
Bài 3: Cho biểu thức:
Tleft(frac{x+4sqrt{x}+4}{x+sqrt{x}-2}+frac...
Đọc tiếp
Bài 1: Cho các số thực dương a,b ; a≠b. Chứng minh:
\(\frac{\frac{\left(a-b\right)^3}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^3}-b\sqrt{b}+2a\sqrt{a}}{a\sqrt{a}-b\sqrt{b}}+\frac{3a+3\sqrt{ab}}{b-a}=0\)
Bài 2: Cho các biểu thức; \(P=\frac{5x-12\sqrt{x}-32}{x-16}\) và \(Q\left(x\right)=x+\sqrt{x}+3\).
a) Tìm số nguyên x0 sao cho P(x0) và Q(x0) là các số nguyên, đồng thời P(x0) và ước của Q(x0)
b) Cho \(t=\frac{x}{x^2-x+1}\). Tính giá trị biểu thức \(A=\frac{x^2}{x^4+x^2+1}\) theo t
Bài 3: Cho biểu thức:
\(T=\left(\frac{x+4\sqrt{x}+4}{x+\sqrt{x}-2}+\frac{x+\sqrt{x}}{1-x}\right):\left(\frac{1}{\sqrt{x}+1}-\frac{1}{1-\sqrt{x}}\right)\left(x>0;x\ne1\right)\)
Rút gọn biểu thức T. Có bao nhiêu giá trị của x để \(A\ge\frac{1+\sqrt{2018}}{\sqrt{2018}}\)
Cho a,b,c > 0 , \(a^2+b^2+c^2=3\). Chứng minh rằng : \(\sqrt{\frac{9}{\left(a+b\right)^2}+c^2}+\sqrt{\frac{9}{\left(b+c\right)^2}+a^2}+\sqrt{\frac{9}{\left(a+c\right)^2}+b^2}\)≥\(\frac{3\sqrt{13}}{2}\)
1. Cho a,b,c,d là các số dương. Chứng minh rằng: sqrt{ab}+sqrt{cd}lesqrt{left(a+dright)left(b+cright)}
2. Cho (x;y;z) và (a;b;c) là các số dương. Chứng minh rằng: sqrt[3]{abc}+sqrt[3]{xyz}lesqrt[3]{left(a+xright)left(b+yright)left(c+zright)}
3. Cho c0 và a,bge c. Chứng minh rằng: sqrt{cleft(a-cright)}+sqrt{cleft(b-cright)}lesqrt{ab}
Đọc tiếp
1. Cho a,b,c,d là các số dương. Chứng minh rằng: \(\sqrt{ab}+\sqrt{cd}\le\sqrt{\left(a+d\right)\left(b+c\right)}\)
2. Cho (x;y;z) và (a;b;c) là các số dương. Chứng minh rằng: \(\sqrt[3]{abc}+\sqrt[3]{xyz}\le\sqrt[3]{\left(a+x\right)\left(b+y\right)\left(c+z\right)}\)
3. Cho \(c>0\) và \(a,b\ge c\). Chứng minh rằng: \(\sqrt{c\left(a-c\right)}+\sqrt{c\left(b-c\right)}\le\sqrt{ab}\)
1/ a/ cho A left(sqrt{x}-frac{1}{sqrt{x}}right):left(frac{sqrt{x}-1}{sqrt{x}}-frac{sqrt{x}-1}{x+sqrt{x}}right)
Tính A khi xfrac{2}{2+sqrt{3}}
b/ cho a,b,c là các số thức khác 0 thỏa mãn a+b+c0 .cmr : sqrt{frac{1}{a^2}+frac{1}{b^2}+frac{1}{c^2}}left|frac{1}{a}+frac{1}{b}+frac{1}{c}right|
2/
a/ tìm tất cả các số tự nhiên sao cho n^2-14n-256 là 1 số chính phương
b/ cho a0 ,b0 và ab1. tìm GTNN của biểu thức : A left(a+b+1right)left(a^2+b^2right)+frac{...
Đọc tiếp
1/ a/ cho A= \(\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right):\left(\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}-\frac{\sqrt{x}-1}{x+\sqrt{x}}\right)\)
Tính A khi \(x=\frac{2}{2+\sqrt{3}}\)
b/ cho a,b,c là các số thức khác 0 thỏa mãn a+b+c=0 .cmr : \(\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}=\left|\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right|\)
2/
a/ tìm tất cả các số tự nhiên sao cho \(n^2-14n-256\) là 1 số chính phương
b/ cho a>0 ,b>0 và ab=1. tìm GTNN của biểu thức : A =\(\left(a+b+1\right)\left(a^2+b^2\right)+\frac{4}{a+b}\)
Câu 1 a, Giải hệ phương trình left{{}begin{matrix}3x^3-y^3frac{1}{x+y}x^2+y^21end{matrix}right.
b, Giải phương trình sqrt{3-2x}+sqrt[3]{5+3x}3
c, Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình frac{x^2-4}{x}+frac{y^2-4}{y}+84left(sqrt{x-1}+sqrt{y-1}right)
Câu 2 a , Với a;b;c là 3 số thực đôi một phân biệt chứng minh rằng
frac{2a+b}{a-b}+frac{2b+c}{b-c}+frac{2c+a}{c-a}frac{left(2a+bright)left(2b+cright)}{left(a-bright)left(b-cright)}+...
Đọc tiếp
Câu 1 a, Giải hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}3x^3-y^3=\frac{1}{x+y}\\x^2+y^2=1\end{matrix}\right.\)
b, Giải phương trình \(\sqrt{3-2x}+\sqrt[3]{5+3x}=3\)
c, Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình \(\frac{x^2-4}{x}+\frac{y^2-4}{y}+8=4\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}\right)\)
Câu 2 a , Với a;b;c là 3 số thực đôi một phân biệt chứng minh rằng
\(\frac{2a+b}{a-b}+\frac{2b+c}{b-c}+\frac{2c+a}{c-a}=\frac{\left(2a+b\right)\left(2b+c\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)}+\frac{\left(2b+c\right)\left(2c+a\right)}{\left(b-c\right)\left(c-a\right)}+\frac{\left(2c+a\right)\left(2a+b\right)}{\left(c-a\right)\left(a-b\right)}+3\)
b, So sánh A và 1 . biết A = \(\frac{9+\sqrt{9+\sqrt{9+\sqrt{9}}}}{9+\sqrt{9+\sqrt{9+\sqrt{9+\sqrt{9}}}}}\)
c, Chứng minh bc là số chính phương biết a,b,c là các số nguyên và thỏa mãn \(\frac{a^2}{a^2+b^2}+\frac{c^2}{a^2+c^2}=\frac{2c}{b+c}\)
Câu 3 a, Cho tam giác ABC đều . Trên tia đối tia CB lấy D sao cho góc CAD = 15 độ . Đường thẳng vuông góc vơi BC tại C cắt AD ở E . Tia phân giác góc ABC cắt AD tại K . Chứng minh AK= DE
b, Cho tam giác ABC vuông tại A có góc B = 15 độ . Các điểm E , F lần lượt nằm trên các cạnh AC,AB sao cho góc ABE = 10 độ và góc ACF = 30 độ . Tính số đo góc CFE
c,Cho tam giác ABC trên tia BA lấy M , trên tia CA lấy N sao cho BM=CN. chứng minh đường trung trực của MN luôn đi qua 1 điểm cố định.
Câu 4 a, Tìm số nguyên tố p để p^3-4p+9 là số chính phương
b,Cho 2 đường thẳng (d1): mx+(m-2)y+m+2=0 và đường thẳng (d2): (2-m)x+my-m-2=0 . Chứng minh hai đường thẳng (d1) và (d2) luôn cắt nhau tại 1 điểm H và khi m thay đổi thì H luôn nằm trên 1 đường tròn cố định
Câu 5 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB =2R.Gọi C là trung điểm AO . Vẽ tia Cx vuông với AB cắt nửa đường tròn tại I . Lấy K bất kì thuộc CI (K khác C và I).Tia AK cắt nửa đường tròn (O) tại M ; tia BM cắt tia Cx tại D . Vẽ tiếp tuyến nửa đường tròn (O) tại M cắt tia Cx tại N . chứng minh
a, Tam giác MNK cân b,Tính diện tích tam giác ABD theo R khi K là trung điểm CI
c, Khi K di động trên CI . Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác AKD đi qua điểm cố định thứ hai khác A
Câu 6 a, Cho a,b,c>0 và a+b+c=3 Tính GTNN của E = \(\frac{1}{a^2b+2}+\frac{1}{b^2c+2}+\frac{1}{c^2a+2}\)
b, Cho a, b là các số thực thỏa a+b khác 0 . Chứng minh \(a^2+b^2+\left(\frac{1+ab}{a+b}\right)^2\ge2\)