Question

Chứng minh \(\sqrt{5}\) là số vô tỉ

Answer 1

Chứng minh rằng 5–√5\sqrt{5} là số vô tỉ

Answer 2

Giải

Chứng minh bằng phương pháp phản chứng:

Giả sử \(\sqrt{5}\) là số hữu tỉ. Như vậy \(\sqrt{5}\) có thể biểu diễn dưới dạng phân số tối giản \(\dfrac{m}{n}\), tức là \(\sqrt{5}=\dfrac{m}{n}\)

=> \(\left(\sqrt{5}\right)^2=\left(\dfrac{m}{n}\right)^2\) hay 5n² = m² (1)

Đẳng thức (1) chứng tỏ m² chia hết cho 5, mà 5 là số nguyên tố nên m chia hết cho 5.

Đặt m = 5k (k \(\in\) Z), ta có m² = 25k² (2)

Từ (1) và (2) suy ra 5n² = 25k² nên n² = 5k² (3)

Từ (3) ta lại có n² chia hết cho 5 mà 5 là số nguyên tố nên n chia hết cho 5.

m và n cùng chia hết cho 5 nên phân số \(\dfrac{m}{n}\) không tối giản, trái giả thiết.

Vậy \(\sqrt{5}\) không là số hữu tỉ, do đó \(\sqrt{5}\) là số vô tỉ.