Question

chứng minh rằng: x-x²-1<0 với mọi số thực thuộc x

Answer 1

\(x-x^2-1=-x^2+x-1=-\left(x^2-2\cdot x\cdot\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}\right)-\dfrac{3}{4}=-\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{3}{4}\)

Ta có: \(\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2\ge0\forall x\in R\)

\(\Rightarrow-\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2\le0\forall x\in R\)

\(\Rightarrow-\left(x-\dfrac{1}{2}\right)-\dfrac{3}{4}\le-\dfrac{3}{4}< 0\forall x\in R\)

\(\Rightarrow x-x^2-1< 0\forall x\in R\left(đpcm\right)\)

Answer 2

$x-x^2-1$
$=-(x^2-x+1)$
\(=-\left[\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\right]\)
\(=-\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{3}{4}\le-\dfrac{3}{4}< 0\)

Vậy \(x-x^2-1<0\)\(\forall x\in R\) \(\left(ĐPCM\right)\)

Answer 3

Ta có: x - x² - 1= - (x² - x + 1)

= - \(\left [ x^{2} - 2.x .\frac{1}{2} + \left ( \frac{1}{2} \right )^{2} - \left ( \frac{1}{2} \right )^{2} + 1\right ]\)

= - \(\left [ \left ( x - \frac{1}{2} \right )^{2} + \frac{3}{4} \right ]\)

= \( - \left ( x - \frac{1}{2} \right )^{2} - \frac{3}{4}\) < 0 với mọi số thực thuộc x

Vì: \(\left\{\begin{matrix} - \left ( x - \frac{1}{2} \right )^{2} < 0 & & \\ - \frac{3}{4} < 0 & & \end{matrix}\right.\) với mọi số thực thuộc x

Vậy: x - x² - 1 < 0 với mọi số thực x

Answer 4

Ta có: x-x²-1 = x²+x-1 = -{[x²-2x1/2+1/4]+3/4} = - [x-1/2]²-3/4 < 0 với mọi số thực x Vì - [x-1/2]² <0 =>- [x-1/2]²-3/4 < 0 với mọi số thực x Vậy x-x²-1 < 0 với mọi số thực x