Question

Chứng minh rằng với mọi số thực x , y ta có:

a) \(x^2+10x+30>0\)

b) \(4x-x^2-7< 0\)

c) \(x^2+4y^2-2x-4y+2\ge0\)

Answer 1

Lời giải:

a)

Ta có: \(x^2+10x+30=x^2+2.x.5+5^2+5=(x+5)^2+5\)

Vì $(x+5)^2\geq 0, \forall x\Rightarrow x^2+10x+30=(x+5)^2+5\geq 5>0$ (đpcm)

b)

\(4x-x^2-7=-(x^2-4x+7)=-(x^2+4x+4+3)=-[(x-2)^2+3]\)

Vì $(x-2)^2\geq 0, \forall x\Rightarrow (x-2)^2+3\geq 3>0$

$\Rightarrow 4x-x^2-7=-[(x-2)^2+3]< 0$ (đpcm)

c)

\(x^2+4y^2-2x-4y+2=(x^2-2x+1)+(4y^2-4y+1)\)

\(=(x-1)^2+(2y-1)^2\)

Vì $(x-1)^2\geq 0; (2y-1)^2\geq 0, \forall x,y$

$\Rightarrow x^2+4y^2-2x-4y+2=(x-1)^2+(2y-1)^2\geq 0$ (đpcm)