Question

Chứng minh rằng với mỗi sô nguyên dương n thì

2^n +1 không cha hết cho 7

Answer 1

Lời giải:

Xét mô-đun 3 cho $n$.

Nếu $n=3k(k\in\mathbb{N}^*$) thì:

$2^n+1=2^{3k}+1=8^k+1\equiv 1^k+1\equiv 2\pmod 7$

$\Rightarrow 2^n+1\not\vdots 7(1)$

Nếu $n=3k+1$ thì:

$2^n+1=2^{3k+1}+1=8^k.2+1\equiv 1^k.2+1\equiv 3\pmod 7$

$\Rightarrow 2^n+1\not\vdots 7(2)$

Nếu $n=3k+2$ thì:

$2^n+1=2^{3k+2}+1=8^k.4+1\equiv 1^k.4+1\equiv 5\pmod 7$

$\Rightarrow 2^n+1\not\vdots 7(3)$

Từ $(1);(2);(3)\Rightarrow 2^n+1\not\vdots 7$ với mọi $n$ nguyên dương.