Lời giải:
\(\text{BĐT}\Leftrightarrow \left ( \frac{a^2}{b}-2a+b \right )+\left ( \frac{b^2}{c}-2b+c \right )+\left ( \frac{c^2}{a}-2c+a \right )\geq \frac{6(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c}-2(a+b+c)\)
\(\Leftrightarrow \frac{(a-b)^2}{b}+\frac{(b-c)^2}{c}+\frac{(c-a)^2}{a}\geq \frac{2[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)]}{a+b+c}(1)\)
Do BĐT có tính hoán vị giữa các biến nên giả sử $b$ nằm giữa $a$ và $c$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\Leftrightarrow \frac{(a-b)^2}{b}+\frac{(b-c)^2}{c}+\frac{(c-a)^2}{a}\geq \frac{[(a-b)+(b-c)+(a-c)]^2}{a+b+c}=\frac{4(a-c)^2}{a+b+c}(2)\)
Ta chỉ cần CM \(\frac{4(a-c)^2}{a+b+c}\geq \frac{2[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]}{a+b+c}(3)\Leftrightarrow (a-c)^2\geq (a-b)^2+(b-c)^2\)
\(\Leftrightarrow (b-a)(b-c)\leq 0\). Điều này luôn đúng với $b$ nằm giữa $a$ và $c$
Từ \((1);(2);(3)\Rightarrow \text{đpcm}\). Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c$
