Question

Chứng minh rằng : Tổng của 100 số hạng đầu tiền của dãy sau nhở hơn \(\frac{1}{4}\):

\(\frac{1}{5}\); \(\frac{1}{45}\); \(\frac{1}{117}\); \(\frac{1}{221}\);\(\frac{1}{357}\);.................

Giải chi tiết giúp mk nha các bn!!

Answer 1

Giải:

Tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy trên là:

\(\frac{1}{5}+\frac{1}{45}+\frac{1}{117}+\frac{1}{221}+...+\frac{1}{159197}\)

\(=\frac{1}{1.5}+\frac{1}{5.9}+\frac{1}{9.13}+\frac{1}{13.17}+...+\frac{1}{397.401}\)

\(=\frac{1}{4}\left(\frac{4}{1.5}+\frac{4}{5.9}+\frac{4}{9.13}+\frac{4}{13.17}+...+\frac{4}{397.401}\right)\)

\(=\frac{1}{4}\left(1-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{9}+\frac{1}{9}-\frac{1}{13}+\frac{1}{13}-\frac{1}{17}+...+\frac{1}{397}-\frac{1}{401}\right)\)

\(=\frac{1}{4}\left(1-\frac{1}{401}\right)\)

Vì \(\frac{1}{4}\left(1-\frac{1}{401}\right)< \frac{1}{4}\left(1-0\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{5}+\frac{1}{45}+\frac{1}{117}+\frac{1}{221}+...+\frac{1}{159197}\)

Vậy tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy đó nhỏ hơn \(\frac{1}{4}\) (Đpcm)