Question

Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì: A =4a^2b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2 luôn luôn dương

Answer 1

Lời giải:
\(A=4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2\)

\(=(2ab)^2-(a^2+b^2-c^2)^2=[2ab-(a^2+b^2-c^2)][2ab+(a^2+b^2-c^2)]\)

\(=[c^2-(a-b)^2][(a+b)^2-c^2]\)

\(=(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)\)

Vì $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh tam giác nên theo BĐT tam giác:

\(\left\{\begin{matrix} a+b+c>0\\ c-a+b>0\\ c+a-b>0\\ a+b-c>0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow A=(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)>0\)

Hay $A$ luôn dương (đpcm)

Answer 2

Lời giải:
\(A=4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2\)

\(=(2ab)^2-(a^2+b^2-c^2)^2=[2ab-(a^2+b^2-c^2)][2ab+(a^2+b^2-c^2)]\)

\(=[c^2-(a-b)^2][(a+b)^2-c^2]\)

\(=(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)\)

Vì $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh tam giác nên theo BĐT tam giác:

\(\left\{\begin{matrix} a+b+c>0\\ c-a+b>0\\ c+a-b>0\\ a+b-c>0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow A=(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)>0\)

Hay $A$ luôn dương (đpcm)