Nếu n và n5 có chữ số tận cùng giống nhau
\(\Rightarrow n^5-n⋮10\)
Ta có:
\(n^5-n\)
\(=n\left(n^4-1\right)\)
\(=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)\)
\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2-4+5\right)\)
\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2-4\right)+5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)
\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)+5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)
Vì \(n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)\) là tích của 5 số tự nhiên liên tiếp
\(\Rightarrow n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)⋮5\)
Vì \(n\left(n-1\right)\) là tích của hai số tự nhiên liên tiếp
\(\Rightarrow n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)⋮2\)
\(\Rightarrow n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)⋮10\left(1\right)\)
Ta có: \(5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)⋮5\)
Vì \(n\left(n-1\right)\) là tích của hai số tự nhiên liên tiếp
\(\Rightarrow5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮2\)
\(\Rightarrow5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮10\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra
\(n\left(n+1\right)\left(n-1\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)+5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮10\)
\(\Rightarrow n^5-n⋮10\)
Vậy n và n5 có chữ số tận cùng giống nhau
