Trước hết ta cần biết tính chất: cho đa thức \(f\left(x\right)\) có hệ số nguyên, với hai số nguyên \(p\ne q\) bất kì thì ta luôn có \(f\left(p\right)-f\left(q\right)⋮\left(p-q\right)\)
- Dễ dàng chứng minh tính chất trên
Gọi \(f\left(x\right)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0\) với \(a_i\left(i=0...n\right)\) nguyên
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}f\left(p\right)=a_np^n+a_{n-1}p^{n-1}+...+a_1p+a_0\\f\left(q\right)=a_nq^n+a_{n-1}q^{n-1}+...+a_1q+a_0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow f\left(p\right)-f\left(q\right)=a^n\left(p^n-q^n\right)+a_{n-1}\left(p_{n-1}-q^{n-1}\right)+...+a_1\left(p-q\right)\)
Do các số hạng của tổng trên đều chia hết \(p-q\Rightarrow f\left(p\right)-f\left(q\right)⋮\left(p-q\right)\) (đpcm)
Áp dụng vào bài toán:
Giả sử tồn tại đa thức hệ số nguyên \(f\left(x\right)\) sao cho \(\left\{{}\begin{matrix}f\left(8!\right)=2015\\f\left(9!\right)=2075\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow f\left(9!\right)-f\left(8!\right)⋮\left(9!-8!\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(2075-2015\right)⋮\left(9!-8!\right)\)
\(\Leftrightarrow60⋮\left(9!-8!\right)\) (1)
Mà \(9!-8!=8!\left(9-1\right)=8!8⋮8\)
Nhưng \(60⋮̸8\Rightarrow60⋮̸\left(9!-8!\right)\) (mâu thuẫn với (1))
Vậy điều giả sử là sai \(\Rightarrow\) ko tồn tại đa thức hệ số nguyên thỏa mãn yêu cầu.
