Hình vẽ:
Xét sáu tam giác được đánh số là: 1, 2, 3, 4, 5, 6
Vì G là trọng tâm nên ta có:
\(S_{GAB}=S_{GBC}=S_{GCA}=\dfrac{1}{3}S_{ABC}\)
Ta lại có \(S_1=S_2;S_3=S_4;S_5=S_6\) (vì mỗi cặp tam giác có chung đường cao và hai đáy bằng nhau, vậy sáu tam giác 1, 2, 3, 4, 5, 6 có diện tích bằng nhau)
Chứng minh rằng nếu một tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân ?
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Vẽ điểm D sao cho G là trung điểm của AD. Chứng minh rằng :
a) Các cạnh của tam giác BGD bằng \(\dfrac{2}{3}\) các đường trung tuyến của tam giác ABC
b) Các đường trung tuyến của tam giác BGD bằng một nửa các cạnh của tam giác ABC
Hãy chứng minh định lí đảo của định lí trên : Nếu tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó cân ?
Cho tam giác ABC vuông tại A, vẽ tia phân giác BD. Kẻ DE vuông góc với BC (E thuộc BC). Gọi F là giao điểm của BA và ED. Chứng minh rằng: a) Tam giác BED bằng tam giác BAD b) Tam BCF cân tại B. c) BD là đường trung tuyến của tam giác BCF?
Ví dụ 7. Cho tam giác ABC có các đường trung tuyến BD, CE cắt nhau tại G. Biết rằng BD = CE .
a) Tam giác GBC là tam giác gì? Vì sao?
b) Chứng minh ADBC =AECB.
c) Chứng minh tam giác ABC cân.
Cho tam giác ABC cân tai A có AH là đường trung tuyến ứng với cạnh BC A)chứng minh tâm giác AHB=tam giác AHC B)kẻ các đường trung tuyến BM và CN .Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC Chứng minh tam giác GBC là tam giác cân C)qua C kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt đường thẳng BM tại từ G kẻ đường thẳng song song với BC. Chứng minh BC=2×GD
Bài 10 : Chứng minh rằng độ dài mỗi đường trung tuyến của một tam giác nhỏ hơn tổng độ dài của 2 đường trung tuyến kia
Chứng minh định lí : Trong một tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên thì bằng nhau ?
Gọi G là trọng tâm của tam giác đều ABC. Chứng minh rằng :
\(GA=GB=GC\)
Hướng dẫn : Áp dụng định lí ở bài tập 26 - Trong một tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên thì bằng nhau
