Question

Chứng minh rằng biểu thức sau có giá trị là số nguyên \(\sqrt[3]{170-78\sqrt{3}}+\sqrt[3]{170+78\sqrt{3}}\)

Answer 1

Lời giải:

Ta đoán mỗi hạng tử của biểu thức đã cho đều có khả năng rút gọn. Do đó đặt $170-78\sqrt{3}=(a+b\sqrt{3})^3(*)$ với $a,b$ nguyên. Đến khi trình bày thì sẽ làm ngược lại.

Có $(*)\Leftrightarrow 170-78\sqrt{3}=a^3+3b\sqrt{3}+3a^2b\sqrt{3}+9ab^2$
Vì $a,b$ nguyên còn $\sqrt{3}$ vô tỷ nên $170=a^3+9ab^2$ và $-78=3b+3a^2b$

Vì $a,b$ nguyên nên dễ dàng thử và tìm được $a=5, b=-1$

Do đó $\sqrt[3]{170-78\sqrt{3}}=5-\sqrt{3}$

Tương tự: 

$\sqrt[3]{170+78\sqrt{3}}=5+\sqrt{3}$

Do đó: Biểu thức có giá trị là: $5-\sqrt{3}+5+\sqrt{3}=10$ là 1 số nguyên.