Question

Chứng minh rằng:

a) \(\left(a+b\right)\left(a+c\right)+\left(c+a\right)\left(c+b\right)=2\left(b+a\right)\left(b+c\right)\)biết \(a^2+c^2=2b^2\).

b) \(a\left(a+2\right)-a\left(a-7\right)\left(a-5\right)⋮7\)với mọi giá trị nguyên của a.

Answer 1

a) Ta có:

\(\left(a+b\right)\left(a+c\right)+\left(c+a\right)\left(c+b\right)\)

\(=a^2+ac+ab+bc+c^2+bc+ac+ab\)

\(=a^2+c^2+2ac+2bc+2ab\)

Thay \(a^2+c^2=2b^2\) vào biểu thức ta được:

\(=2b^2+2ac+2bc+2ab\)

\(=2\left(b^2+ac+bc+ab\right)\)

\(=2\left[\left(b^2+bc\right)+\left(ac+ab\right)\right]\)

\(=2\left[b\left(b+c\right)+a\left(c+b\right)\right]\)

\(=2\left(b+a\right)\left(b+c\right)\)

\(\RightarrowĐpcm\)