Câu hỏi của Hoàng Luke

Question

Chứng minh phân số sau đây là phân số tối giản :$\dfrac{n^3+2n}{n^4+3n^2+1}$

Nguyễn Thanh Hằng · Accepted Answer

Gọi $d=ƯCLN\left(n^3+2n;n^4+3n^2+1\right)\left(d\in N\right)$

$\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}n^3+2n⋮d\n^4+3n^2+1⋮d\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}n^4+2n^2⋮d\n^4+3n^2+1⋮d\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow n^2+1⋮d$

Mà $n^3+2n⋮d$

$\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}n^3+n⋮d\n^3+2n⋮d\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow n⋮d$

Mà $n^2+1⋮d$

$\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}n^2⋮d\n^2+1⋮d\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow1⋮d$

Vì $d\in N;1⋮d\Leftrightarrow d=1$

$\LeftrightarrowƯCLN\left(n^3+2n;n^4+3n^2+1\right)=1$

$\Leftrightarrow$ Phân số $\dfrac{n^3+2n}{n^4+3n^2+1}$ tối giản với mọi nCâu trả lời: Gọi $d=ƯCLN\left(n^3+2n;n^4+3n^2+1\right)\left(d\in N\right)$

$\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}n^3+2n⋮d\n^4+3n^2+1⋮d\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}n^4+2n^2⋮d\n^4+3n^2+1⋮d\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow n^2+1⋮d$

Mà $n^3+2n⋮d$

$\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}n^3+n⋮d\n^3+2n⋮d\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow n⋮d$

Mà $n^2+1⋮d$

$\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}n^2⋮d\n^2+1⋮d\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow1⋮d$

Vì $d\in N;1⋮d\Leftrightarrow d=1$

$\LeftrightarrowƯCLN\left(n^3+2n;n^4+3n^2+1\right)=1$

$\Leftrightarrow$ Phân số $\dfrac{n^3+2n}{n^4+3n^2+1}$ tối giản với mọi n

Chippy Linh · Answer

Gọi $d=ƯCLN\left(n^3+2n;n^4+3n^2+1\right)$

$\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n^3+2n⋮d\n^4+3n^2+1⋮d\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n^4+2n^2⋮d\n^4+3n^2+1⋮d\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow n^2+1⋮d$

Mà n3 + 2n $⋮$ d

$\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n^3+n⋮d\n^3+2n⋮d\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow n⋮d$

Mà n2 + 1 $⋮$ d

$\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n^2⋮d\n^2+1⋮d\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow1⋮d$

Vì $d\in N;1⋮d\Rightarrow d=1$

$\RightarrowƯCLN\left(n^3+2n;n^4+3n^2+1\right)=1$

Vậy phân số $\dfrac{n^3+2n}{n^4+3n^2+1}$ tối giản $\forall n\in N$ => đpcmCâu trả lời: Gọi $d=ƯCLN\left(n^3+2n;n^4+3n^2+1\right)$

$\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n^3+2n⋮d\n^4+3n^2+1⋮d\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n^4+2n^2⋮d\n^4+3n^2+1⋮d\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow n^2+1⋮d$

Mà n3 + 2n $⋮$ d

$\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n^3+n⋮d\n^3+2n⋮d\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow n⋮d$

Mà n2 + 1 $⋮$ d

$\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n^2⋮d\n^2+1⋮d\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow1⋮d$

Vì $d\in N;1⋮d\Rightarrow d=1$

$\RightarrowƯCLN\left(n^3+2n;n^4+3n^2+1\right)=1$

Vậy phân số $\dfrac{n^3+2n}{n^4+3n^2+1}$ tối giản $\forall n\in N$ => đpcm

Nguyễn Nhã Hiếu · Answer

Gọi ($n^3+2n;n^4+3n^2+1$) là d => $n^3+2n$ chia hết cho d và $n^4+3n^2+1$ chia hết cho d

=>$n\left(n^3+2n\right)$chia hết cho d hay $n^4+2n^2$ chia hết cho d

do đó ($n^4+3n^2+1$)-($n^4+2n^2$) chia hết cho d hay$n^2+1$ chia hết cho d (1)

=>($n^2+1$)($n^2+1$) chia hết cho d hay $n^4+2n^2+1$ chia hết cho d

=>($n^4+3n^2+1$)-($n^4+2n^2+1$) chia hết cho d hay $n^2$ chia hết cho d(2)

Từ (1) và (2)=>($n^2+1$)-$n-2$ chia hết cho d hay 1 chia cho d

Do đó $\left(n^3+2n;n^4+3n^2+1\right)=1$ hoặc -1

=>$\dfrac{n^3+2n}{n^4+3n^2+1}$ là phân số tối giản (đpcm)

Chúc Bạn Học TốtCâu trả lời: Gọi ($n^3+2n;n^4+3n^2+1$) là d => $n^3+2n$ chia hết cho d và $n^4+3n^2+1$ chia hết cho d