Giả sử √2 không phải là số vô tỉ. Khi đó tồn tại các số nguyên a và b sao cho √2 = a/b với b > 0. Hai số a và b không có ước chung nào khác 1 và -1.
Ta có: (√2 )2 = (a/b)2 hay a2=2b2 (1)
Kết quả trên chứng tỏ a là số chẵn, nghĩa là ta có a = 2c với c là số nguyên.
Thay a = 2c vào (1) ta được: (2c)2=2b2 hay b2=2c2
Kết quả trên chứng tỏ b phải là số chẵn.
Hai số a và b đều là số chẵn, trái với giả thiết a và b không có ước chung nào khác 1 và -1.
Vậy √2 là số vô tỉ.
Giả sử √2 là số hữu tỉ thì nó viết được dưới dạng :
m/n với m, n thuộc N, (m, n)=1
Do 2 không là số chính phương nên m/n không là số tự nhiên, do đó n>1
Ta có m2=2n2. Gọi p là ước nguyên tố nào đó của n, thế thì m2 chia hết cho p
=> m chia hết cho p.
=> p là ước nguyên tố của m và n (trái với (m, n) =1)
=>√2 ko là số hữu tỉ
=>√2 là số vô tỉ.
