Lời giải:
1.
Vì $BC\equiv d$ là tiếp tuyến của $(O)$ nên $OH\perp BC$
$\Rightarrow \triangle BHO$ vuông tại $H$ và tam giác $CHO$ vuông tại $H$
Tam giác $HBO$ vuông có đường cao $HM$ nên áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông có $HO^2=OM.OB(1)$
Hoàn toàn tương tự, với tam giác vuông $CHO$ có đường cao $HN$ có: $HO^2=ON.OC(2)$
Từ $(1);(2)\Rightarrow OM.OB=ON.OC$ (đpcm)
------------
Vì $OM.OB=HO^2=OA^2\Rightarrow \frac{OM}{OA}=\frac{OA}{OB}$
$\Rightarrow \triangle MOA\sim \triangle AOB$ (c.g.c)
$\Rightarrow \widehat{MAO}=\widehat{ABO}=\widehat{AOB}=\widehat{AOM}$ (do $AB=AO$)
$\Rightarrow \triangle AMO$ cân tại $M$
$\Rightarrow AM=OM$
Hoàn toàn tương tự: $NA=NO$
Do đó $MN$ là đường trung trực của $AO$ nên $MN$ luôn đi qua trung điểm của $AO$. $A,O$ cố định nên trung điểm của nó $I$ cũng cố định. Vậy $MN$ luôn đi qua điểm cố định (đpcm)
2.
Vì $OM.OB=ON.OC$ nên $\triangle OMN\sim \triangle OCB$ (c.g.c)
$\Rightarrow \widehat{OMN}=\widehat{OCB}$ hay $\widehat{OMI}=\widehat{OCH}$
$\Rightarrow \triangle OMI\sim \triangle OCH$ (g.g)
$\Rightarrow \frac{OM}{OC}=\frac{OI}{OH}=\frac{OA}{2OH}=\frac{1}{2}$
$\Rightarrow 2OM=OC$
$\Rightarrow OB.OC=2OM.OB=2.OH^2=2R^2$ (đpcm)
