Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyễn Công Thành

Cho x,y,z>0 thỏa mãn \(x+y+z=xyz=1,\)chứng minh rằng:

\(\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+z^2}}\le\frac{3}{2}\)

Nguyễn Thành Trương
4 tháng 9 2019 lúc 7:34

Áp dụng giả thiết ta được: \(\dfrac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} = \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + xy + yz + zx} }} = \dfrac{x}{{\sqrt {\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)} }} \)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được:

\(\dfrac{x}{{\sqrt {\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)} }} = \sqrt {\dfrac{{{x^2}}}{{\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)}}} \le \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{x}{{x + y}} + \dfrac{x}{{z + x}}} \right) \)

Do đó ta được: \(\dfrac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} \le \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{x}{{x + y}} + \dfrac{x}{{z + x}}} \right) \)

Hoàn toàn tương tự ta được:

\( \dfrac{y}{{\sqrt {1 + {y^2}} }} \le \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{y}{{x + y}} + \dfrac{y}{{y + z}}} \right)\\ \dfrac{z}{{\sqrt {1 + {z^2}} }} \le \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{z}{{z + x}} + \dfrac{z}{{y + z}}} \right) \)

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:

\( \dfrac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} + \dfrac{y}{{\sqrt {1 + {y^2}} }} + \dfrac{z}{{\sqrt {1 + {z^2}} }}\\ \le \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{x}{{x + y}} + \dfrac{x}{{z + x}} + \dfrac{y}{{x + y}} + \dfrac{y}{{y + z}} + \dfrac{z}{{z + x}} + \dfrac{z}{{y + z}}} \right) = \dfrac{3}{2} \)

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x = y = z = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} \)


Các câu hỏi tương tự
Đinh Hạnh
Xem chi tiết
fghj
Xem chi tiết
Lê Đình Quân
Xem chi tiết
Hoàng Quốc Tuấn
Xem chi tiết
Agami Raito
Xem chi tiết
阮芳邵族
Xem chi tiết
Nguyễn Thu Ngà
Xem chi tiết
Lê Đình Dương
Xem chi tiết
Hàn Thiên Băng
Xem chi tiết