Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Ba Dao Mot Thoi

Cho x,y,z>0 thỏa mãn xyz=1.Chứng minh

\(\dfrac{1}{x^2+2y^2+3}+\dfrac{1}{y^2+2z^2+3}+\dfrac{1}{z^2+2x^2+3}\le\dfrac{1}{2}\)

DƯƠNG PHAN KHÁNH DƯƠNG
23 tháng 9 2018 lúc 17:00

Áp dụng BĐT \(AM-GM\) ta có :

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2\ge2xy\\y^2+3\ge2y+2\end{matrix}\right.\Rightarrow x^2+2y^2+3\ge2\left(xy+y+1\right)\Rightarrow\dfrac{1}{x^2+2y^2+3}\le\dfrac{1}{2\left(xy+y+1\right)}\)

Tương tự : \(\dfrac{1}{y^2+2z^2+3}\le\dfrac{1}{2\left(yz+z+1\right)}\)

\(\dfrac{1}{z^2+2x^2+3}\le\dfrac{1}{2\left(zx+x+1\right)}\)

Cộng từng vế BĐT ta được :

\(\dfrac{1}{x^2+2y^2+3}+\dfrac{1}{y^2+2z^2+3}+\dfrac{1}{z^2+2x^2+3}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{xy+y+1}+\dfrac{1}{yz+z+1}+\dfrac{1}{zx+x+1}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{xyz}{xy+y+xyz}+\dfrac{x}{xyz+zx+x}+\dfrac{1}{zx+x+1}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{xz+x+1}{xy+x+1}\right)=\dfrac{1}{2}.1=\dfrac{1}{2}\)


Các câu hỏi tương tự
Viêt Thanh Nguyễn Hoàn...
Xem chi tiết
camcon
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Bình Yên
Xem chi tiết
Vo Thi Minh Dao
Xem chi tiết
Hoai Bao Tran
Xem chi tiết
dia fic
Xem chi tiết
Tường Nguyễn Thế
Xem chi tiết
Tiểu Bạch Kiểm
Xem chi tiết
Luyri Vũ
Xem chi tiết