Question

Cho x,y,z là số đo ba cạnh của 1 tam giác, chứng minh: \(x^2y+y^2z+z^2x+zx^2+yz^2+xy^2-x^3-y^3-z^3>0\)

Answer 1

Lời giải:

Ta có:

\(x^2y+y^2z+z^2x+xy^2+yz^2+zx^2-x^3-y^3-z^3>0\)

\(\Leftrightarrow x^2(y+z-x)+y^2(x+z-y)+z^2(x+y-z)>0(*)\)

Do $x,y,z$ là độ dài ba cạnh tam giác nên:

\(\left\{\begin{matrix} x+y>z\\ y+z>x\\ z+x>y\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x+y-z>0\\ y+z-x>0\\ z+x-y>0\end{matrix}\right.\)

Do đó BĐT $(*)$ luôn đúng nên ta có đpcm.