Question

Cho x,y,z là 3 số thực dương thỏa mãn x(x-z) + y(y-z) = 0

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = \(\frac{x^3}{x^2+z^2}+\frac{y^3}{y^2+z^2}+\frac{x^2+y^2+4}{x+y}\)

Answer 1

\(x\left(x-z\right)+y\left(y-z\right)=0\Leftrightarrow z\left(x+y\right)=x^2+y^2\)

\(P=x-\frac{xz^2}{x^2+z^2}+y-\frac{yz^2}{y^2+z^2}+\frac{x^2+y^2+4}{x+y}\)

\(P\ge x+y-\frac{xz^2}{2xz}-\frac{yz^2}{2yz}+\frac{x^2+y^2+4}{x+y}\)

\(P\ge x+y-z+\frac{x^2+y^2+4}{x+y}=x+y+\frac{x^2+y^2+4-z\left(x+y\right)}{x+y}=x+y+\frac{4}{x+y}\)

\(P\ge2\sqrt{\frac{4\left(x+y\right)}{x+y}}=4\)

\(P_{min}=4\) khi \(x=y=z=1\)